« Le noyau atomique/La loi de désintégration radioactive » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
Ligne 108 :
: <math>\frac{d \left( e^{- \lambda_A t}\right)}{dt} - \frac{d \left( e^{- \lambda_B t}\right)}{dt} = 0</math>
On réorganise les termes :
: <math>\frac{d \left( e^{- \lambda_A t}\right)}{dt} = \frac{d \left( e^{- \lambda_B t}\right)}{dt}</math>
Ligne 114 ⟶ 116 :
: <math>\lambda_A \left( e^{- \lambda_A t} \right) = \lambda_B \left( e^{- \lambda_B t} \right)</math>
On réorganise les termes :
: <math>\frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \frac{e^{- \lambda_B t}}{e^{- \lambda_A t}}</math>
On utilise la formule <math>\frac{e^x}{e^y} = e^{x - y}</math> :
: <math>\frac{\lambda_A}{\lambda_B} = e^{(\lambda_A - \lambda_B) t}</math>
Ligne 130 ⟶ 136 :
|<math>t = \frac{\ln{(\lambda_A)} - \ln{(\lambda_B)}}{\lambda_A-\lambda_B}</math>
|}
Il est intéressant d'étudier ce qui se passe quand les deux constantes de temps <math>\lambda_A</math> et <math>\lambda_B</math>sont très différentes. On peut alors se retrouver dans deux cas : soit on a <math>\lambda_A >> \lambda_B</math>, soit <math>\lambda_A < \lambda_B</math>. Étudions ces deux cas l'un après l'autre.
====Le cas particulier de l'équilibre séculaire====
Partons de l'équation vue plus haut :
: <math>N_B(t) = N_A^0 \cdot \frac{\lambda_A}{\lambda_A + \lambda_B} \left( e^{- \lambda_A t} - e^{- \lambda_B t} \right)</math>
Supposons que <math>\lambda_A >> \lambda_B</math>.
Le terme <math>\frac{\lambda_A}{\lambda_A + \lambda_B}</math> se simplifie alors comme suit :
: <math>\frac{\lambda_A}{\lambda_A + \lambda_B} \approx \frac{\lambda_A}{\lambda_A} = 1</math>.
De plus, le terme <math>\left( e^{- \lambda_A t} - e^{- \lambda_B t} \right)</math> se simplifie aussi, ne laissant que la première exponentielle :
: <math>\left( e^{- \lambda_A t} - e^{- \lambda_B t} \right) \approx e^{- \lambda_A t}</math>
En combinant toutes les équations précédentes, on trouve
: <math>N_B(t) = N_A^0 \cdot e^{- \lambda_A t}</math>
Le terme de droite n'est autre que <math>N_A(t)</math>, ce qui donne :
: <math>N_B(t) = N_A(t)</math>
En clair, on a un équilibre entre les atomes A et B : leur nombre est identique.
====Le cas particulier du non-équilibre====
Comme précédemment, partons de l'équation vue plus haut :
: <math>N_B(t) = N_A^0 \cdot \frac{\lambda_A}{\lambda_A + \lambda_B} \left( e^{- \lambda_A t} - e^{- \lambda_B t} \right)</math>
Supposons que <math>\lambda_A < \lambda_B</math>. Le terme <math>\left( e^{- \lambda_A t} - e^{- \lambda_B t} \right)</math> se simplifie, ne laissant que la seconde exponentielle :
: <math>\left( e^{- \lambda_A t} - e^{- \lambda_B t} \right) \approx e^{- \lambda_B t}</math>
En combinant toutes les équations précédentes, on trouve
: <math>N_B(t) = N_A^0 \cdot \frac{\lambda_A}{\lambda_A + \lambda_B} \cdot e^{- \lambda_B t}</math>
===Le cas général (les équations de Bateman)===
| |||