« Mathématiques avec Python et Ruby/Une tortue qui accélère la résolution de problèmes » : différence entre les versions

Avant d'utiliser la tortue de ''Python'', on doit l'importer, en faisant

 

from turtle import *

 

Ensuite, une connaissance du vocabulaire de situation et de déplacement en anglais peut aider; en voici un échantillon:

Pour représenter l'addition de 21 et 34, on peut tout simplement entrer

 

from turtle import *

 

 

print(position())

 

Ce qui oblige à ignorer une information superflue (l'ordonnée de la tortue). La variante suivante permet d'éviter cela:

 

reset()

forward(21)

 

print(distance(0,0))

 

 

Pour soustraire 21 à 34, il suffit de faire reculer la tortue au lieu de la faire avancer:

 

reset()

forward(34)

 

print(position())

 

Si on intervertit l'amplitude des mouvements, on découvre que ''Python'' choisit d'afficher négativement une position à gauche de l'origine:

 

reset()

forward(21)

 

print(position())

 

Assez naturellement, on est amené à poser 21-34=-13: Découverte expérimentale des nombres négatifs...

Pour additionner deux nombres négatifs, on peut faire

 

reset()

backward(34)

 

position()

 

Tout ceci permet assez rapidement d'explorer les différents autres cas de figure (deux cas différents pour la somme de deux nombres de signes différents). Puis la découverte spontanée du fait que les deux instructions suivantes ont le même effet:

 

forward(-34)

backward(34)

 

Ce qui facilite grandement l'exploration de la soustraction de deux nombres relatifs:

Pour calculer 34-(-21), on peut faire

 

reset()

forward(34)

 

position()

 

Pour l'apprentissage des opérations sur les nombres négatifs, ''turtle'' constitue un [[w:Micromonde|outil expérimental]] intéressant à explorer.

De même, les deux instructions suivantes ont le même effet (rotation de 60° vers la gauche):

 

left(60)

right(-60)

 

mais ce n'est nullement évident pour des lycéens qui n'ont jamais fait ce genre de manipulation, surtout depuis que la notion de [[w:rotation plane|rotation]] a totalement disparu de l'enseignement des mathématiques. Pourtant le module ''turtle'' permet de visualiser l'addition des angles et d'introduire des notions comme celle d'angles [[w:angles complémentaires|complémentaires]] ou [[w:angles supplémentaires|supplémentaires]] avec

 

left(30)

left(60)

 

 

La [[w:planche de Galton|planche de Galton]] réalise une [[w:marche aléatoire|marche aléatoire]] de dimension 1 (le mouvement vertical de la bille n'ayant aucune influence sur le numéro de la case où elle aboutit). On peut donc simuler le mouvement d'une bille avec ce script:

 

from turtle import *

from random import *

 

print(position())

 

On peut améliorer ce script en utilisant ''randrange'' qui va de -1 à 1 (donc 2 exclu) par pas de 2, ce qui économise un test:

 

from turtle import *

from random import *

 

print(position())

 

==Statistiques sur 100 billes==

Pour effectuer des statistiques sur 100 billes, on a intérêt à accélérer la tortue, avec

 

from turtle import *

from random import *

hideturtle()

penup()

 

Ensuite on crée un tableau d'effectifs pour simuler le bas de la planche de Galton:

 

effectifs=[0 for x in range(-24,25)]

 

Après ça il n'y a plus qu'à remplir le tableau en recommençant 100 fois l'expérience précédente (lancer d'une bille):

 

from turtle import *

from random import *

forward(randrange(-1,2,2))

effectifs[int(xcor()]+=1

 

Ce script, bien qu'assez court, met du temps à s'exécuter (de l'ordre d'une minute). Pour l'accélérer, on peut ajouter un degré d'abstraction en n'utilisant pas la tortue. En effet, chaque pas est égal à -1 ou 1 au hasard, donc d'après ce qu'on a vu au début de ce chapitre (opérations sur les nombres relatifs), on ne fait qu'additionner 24 nombres égaux à 1 ou -1, ce qui donne ce script:

 

from random import *

effectifs=[0 for x in range(-24,25)]

for n in range(100):

effectifs[sum(randrange(-1,2,2) for h in range(24))]+=1

 

Cette fois-ci, l'effet est presque instantané.

Une fois le tableau d'effectifs rempli, le module ''turtle'' peut le représenter graphiquement sous forme d'un polygone des effectifs. Comme la méthode précédente est très rapide et que les effectifs des nombres impairs sont nuls, on va plutôt utiliser la variante suivante, avec 256 cases et 1000 essais:

 

from turtle import *

from random import *

for x in range(256):

goto(x,effectifs[x])

 

On obtient alors un histogramme de ce genre (la tortue est encore visible à droite):

Comme le script qui va dessiner le triangle fractal sera assez long, on va utiliser des abréviations: ''fd'' au lieu de ''forward'', ''lt'' au lieu de ''left'' et ''rt'' au lieu de ''right''. Alors pour dessiner un triangle on peut faire ceci:

 

from turtle import *

 

fd(100); rt(120); fd(100); rt(120); fd(100); rt(120)

 

Ou mieux, en stockant ce programme en Python dans une variable ''programme'':

 

from turtle import *

 

programme='fd(100); rt(120); fd(100); rt(120); fd(100); rt(120)'

exec(programme)

 

Dans un premier temps, on va abréger encore plus, en notant chaque instruction de ce programme par une seule lettre:

Alors le programme pour créer un programme qui dessine un triangle devient:

 

from turtle import *

from re import *

programme=sub('m','rt(120); ',programme)

exec(programme)

 

Le remplacement des lettres mnémotechniques par des instructions en Python est à l'image de ce que fait un [[w:compilateur|compilateur]] comme celui de Python. Avec ça, au moins, la recette pour dessiner un triangle est facile à retenir: ''avancer; tourner; avancer; tourner; avancer; tourner'', étant entendu que chaque fois qu'on avance, c'est de 100 pixels, et chaque fois qu'on tourne, c'est de 120° vers la droite.

Pour transformer le triangle en flocon, on doit remplacer chaque instruction ''avancer'' par la séquence ''avancer; gauche; avancer; droite; avancer; gauche; avancer''. Du moment que chaque fois qu'on avance, c'est du même nombre de pixels (par exemple 81) et chaque fois qu'on tourne à gauche, c'est de 60° et chaque fois qu'on tourne à droite, c'est de 120°. Pour obtenir cet effet, il suffit de remplacer chaque ''A'' par ''ApAmApA'':

 

from turtle import *

from re import *

programme=sub('p','lt(60); ',programme)

exec(programme)

 

Ce script dessine bien une étoile:

Pour finir le dessin du flocon fractal, il suffit d'itérer le remplacement de chaque ''A'' par ''ApAmApA'':

 

from turtle import *

from re import *

programme=sub('p','lt(60); ',programme)

exec(programme)

 

Ce script dessine ceci en 9 lignes de Python (la tortue donne une idée de l'échelle):