« Mathématiques avec Python et Ruby/Suites en Ruby » : différence entre les versions

Une suite est une fonction de <math>\N</math> dans <math>\R</math> (ou <math>\Complex</math>...). On peut donc facilement calculer les premiers termes de celle-ci en utilisant la méthode ''collect'' d'une liste d'entiers (approximation finie de <math>\N</math>). Par exemple pour vérifier que la suite <math>u_n=\frac{1}{n}</math> tend vers 0, on peut essayer

 

(1..50).collect{|n| puts(1/n.to_f)}

 

==Suites récurrentes==

La [[w:Suite logistique|suite logistique]] <math>u_{n+1}=4u_n\left(1-u_n\right)</math> est [[w:Théorie du chaos|chaotique]] sur ''[0;1]''. Pour le vérifier, on peut faire

 

u=0.1

50.times do

puts(u)

end

 

En constatant que <math>u_0=0,1=\frac{1}{10}\in \Q</math>, on peut vérifier que, quoique chaotique, cette suite est formée de fractions:

 

require 'mathn'

u=1/10

puts(u)

end

 

Quoique chaotique, cette suite ne fait pas un bon générateur pseudo-aléatoire, parce que les nombres proches de 0 et 1 sont trop souvent visités. Pour le vérifier graphiquement, on peut dessiner un histogramme des 4000 premières valeurs de la suite, avec l'algorithme suivant:

Le tout est fait en écrivant les instructions dans le langage [[w:Scalable Vector Graphics|svg]], engendrées par ''Ruby'', dans un fichier ''HistogramRuby1.svg'' visible ci-dessous. Voici le script au complet:

 

figure=File.open("HistogramRuby1.svg","w")

figure.puts('<?xml version="1.0" encoding="utf-8"?>')

figure.puts('</svg>')

figure.close

 

Et voici le fichier produit par le script:

Par exemple, si on place 2000 € avec des intérêts (simples) correspondant à 3 % du capital de départ, soit 60 €, on peut calculer les valeurs successives du capital pendant 20 ans avec

 

capital=2000.00

interet=capital*3/100.0

puts(capital)

end

 

====Suites géométriques====

Si on place 2000 € à intérêts composés au taux de 2 % par an, l'affichage des valeurs successives du capital (arrondies à l'eurocent près) peut se faire avec

 

capital=2000.00

20.times do

puts(capital.round(2))

end

 

Sachant que chaque humain a deux parents et que chacun d'entre eux a aussi deux parents, etc. on peut dire que le nombre d'ancêtres à la génération ''n'' est géométrique de raison 2. Le nombre total d'ancêtres jusqu'à la génération ''n'' s'obtient par

 

(0..20).inject{|ancetres,generation| ancetres+=2**generation}

 

puts(ancetres)

puts(2**21)

 

On a presque autant d'ancêtres à la génération 21 qu'à toutes les générations précédentes cumulées!

Ce qui donne envie de vérifier si c'est pareil pour toutes les générations ou si c'est une spécificité de la génération 21:

 

genealogie=[1]*20

(1..20).collect{|i| genealogie[i]=(0..i).inject{|a,g| a+=2**g }}

test=(1..20).reject{|i| generations[i]==genealogie[i-1]+2}

puts(test.size)

 

On crée une liste des ancêtres jusqu'à la génération ''n'' comprise (''genealogie'') et une liste (''generations'') des nombres d'ancêtres à la génération ''n'' seulement. La lise ''test'' est constituée des entiers ''n'' pour lesquels le nombre d'ancêtres à la génération ''n'' n'est '''pas''' égal au total d'ancêtres jusqu'à la génération ''n-1'' augmenté de 2 (avec ''reject'', on a enlevé les positifs). La longueur de ce ''test'' est très petite !

La récurrence de la [[w:Suite de Fibonacci|suite de Fibonacci]] est double, avec <math>u_{n+1}=u_n+u_{n-1}</math>. Son calcul pose donc un problème algorithmique, puisqu'il faut trois variables (les deux termes à calculer et une variable ''tampon'' pour stocker temporairement l'un des deux termes, afin qu'il ne soit pas écrasé par la somme). Ce problème n'existe pas en ''Ruby'' qui permet les affectations simultanées:

 

a=1

b=1

puts(b)

end

 

On peut aussi le faire de manière plus ''Ruby'':

 

a=1

b=1

puts(b)

}

 

===Nombre d'Or===

Pour étudier le quotient de deux termes successifs de la suite:

 

a,b=1,1

(1..20).collect{

 

puts((5**0.5+1)/2)

 

Mais en fait, les nombres de Fibonacci étant entiers, leurs quotients sont des fractions, et cette variante le montre:

 

require 'mathn'

 

puts(b/a)

}

 

On a donc une suite d'approximations rationnelles du [[w:Nombre d'or|nombre d'Or]].

Algorithmiquement, la [[w:Conjecture de Syracuse|suite de Collatz]] est intéressante parce que son calcul est basé sur un test de parité, et qu'elle utilise une boucle à condition de sortie:

 

def Collatz(x)

if x%2==0

end

 

 

==Multiples communs==

La suite des multiples de 5 et la suite des multiples de 7 sont arithmétiques de raisons respectives 5 et 7. On peut les construire en choisissant les nombres entiers qui sont divisibles respectivement par 5 et par 7:

 

a5=(1..1000).select{|n| n%5==0}

a7=(1..1000).select{|n| n%7==0}

puts(a5&a7)

 

Les multiples communs à 5 et 7 sont les multiples de 35, qui est le [[w:ppcm|ppcm]] de 5 et 7. Cette construction est à l'origine de la théorie des [[w:Idéal|idéaux]] par [[w:Ernst Kummer|Kummer]].

La suite définie par <math>u_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+...=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2 \times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{4 \times 5}+...+\frac{1}{n(n+1)}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}</math> tend vers 1, il est relativement aisé de le démontrer, et encore plus facile de le vérifier avec ''Ruby'':

 

suite=(1..50).collect{|n|

(1..n).inject(0){|somme,k|

 

puts(suite)

 

Cette suite est une suite de rationnels:

 

require 'mathn'

 

 

puts(suite)

 

Cette variante suggère d'ailleurs une démonstration de la convergence, grâce à l'émission d'une conjecture sur le terme général de la suite...

La suite <math>u_n=\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\frac{n}{n^2+3}+\frac{n}{n^2+4}+...+\frac{n}{n^2+n}=\sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k}</math> converge aussi, bien que ce ne soit pas évident en voyant son expression algébrique.

 

suite=(1..20).collect{|n|

(1..n).inject(0){|somme,k|

 

puts(suite)

 

Là encore, la suite est rationnelle:

 

require 'mathn'

 

 

puts(suite)

 

 

 

 

==Constante d'Euler==

On peut la calculer (et vérifier la lenteur de la convergence) avec

 

suite=(1..50).collect{|n|

(1..n).inject(0){|s,k| s+=1.0/k}-Math.log(n)

 

puts(suite)

 

=Applications=

Pour calculer <math>\sqrt{5}</math> avec la [[w:Méthode de Héron|méthode de Heron]], on utilise la suite itérée <math>u_{n+1}=\frac{u_n+\frac{5}{u_n}}{2}</math>:

 

u=1.0

50.times do

puts(u)

end

 

Mais encore une fois, cette suite qui converge vers <math>\sqrt{5}</math> est formée de fractions. On a donc une suite d'approximations rationnelles de <math>\sqrt{5}</math>:

 

require 'mathn'

 

puts(u)

end

 

On en déduit des approximations rationnelles du nombre d'Or <math>\frac{\sqrt{5}+1}{2}</math>:

 

require 'mathn'

 

puts((u+1)/2)

end

 

En comparant avec les quotients de nombres de Fibonacci successifs, on voit que la méthode de Heron converge beaucoup plus vite. Cette convergence peut se montrer en représentant graphiquement la suite, ce qu'on peut faire en plaçant des points dans un fichier ''svg'':

 

figure=File.open("SuiteRuby01.svg","w")

figure.puts('<?xml version="1.0" encoding="utf-8"?>')

figure.puts('</svg>')

figure.close

 

Le fichier produit par ce script s'appelle ''SuiteRuby01.svg''. Le voici:

==Formule de l'arc tangente==

 

p=(1..100).collect{|n|

4*(0..n).inject(0){|s,k|

 

puts(p)

 

Comme on le voit, la suite converge très lentement.

Encore une fois, les termes de la suite sont rationnels, ce qui donne une suite de fractions approchant <math>\pi</math>:

 

require 'mathn'

 

 

puts(p)