« Mathématiques avec Python et Ruby/Nombres complexes en Python » : différence entre les versions

Dans ''Python'', il suffit d'écrire ''complex(x,y)'' pour avoir un nombre complexe :

 

z=complex(4,3)

print(z)

 

Même si les coordonnées ''x'' et ''y'' du point sont entières ou des fractions, elles deviennent des réels lorsque ''Python'' instancie le complexe. Voir les propriétés du complexe ci-dessous pour le vérifier.

Si on veut quand même que la lettre ''i'' désigne le complexe de carré -1, il suffit de le déclarer comme tel :

 

i=complex(0,1)

print(i**2)

 

 

Les quatre opérations se notent respectivement ''+'', ''-'', ''*'' et ''/'', et donnent toujours un complexe, même si celui-ci est réel (exemple de la soustraction ci-dessous) :

 

a=complex(2,3)

b=complex(4,3)

print(a*b)

print(a/b)

 

L'élévation à un exposant se note de la même manière que pour les autres nombres, par ''**''. Mais l'exposant peut même être un complexe!

 

i=complex(0,1)

print(i**i)

 

On constate que <math>i^i \in \R</math>...

La racine carrée d'un complexe peut aussi s'obtenir par une élévation de celui-ci à la puissance 0,5 mais dans ce cas on n'obtient qu'une seule des deux racines carrées :

 

c=complex(7,24)

print(c**0.5)

 

Mais ''-4-3i'' a aussi pour carré ''7+24i''. Comment fait ''Python'' pour choisir entre les deux racines carrées?

Même -1 a deux racines carrées dans <math>\Complex</math>, et comme on s'en doute, ''Python'' ne choisit pas ''-i'' mais ''i''... ou plutôt un complexe proche de celui-ci :

 

print((-1)**0.5)

 

 

Les parties réelle et imaginaire d'un complexe sont des propriétés de l'objet :

 

z=complex(4,3)

print(z.real)

print(z.imag)

 

Par contre, le conjugué d'un complexe est une méthode de celui-ci :

 

z=complex(4,3)

print(z.conjugate())

 

(on remarque la présence des parenthèses après ''conjugate'')

Pour avoir le module d'un nombre complexe, on entre ''abs'' :

 

z=complex(4,3)

print(abs(z))

 

Bien entendu, le résultat est réel.

Cependant, pour avoir l'argument de ''a'', il faut charger le module (c'est le cas de le dire!) ''cmath'' :

 

from cmath import *

z=complex(4,3)

print(phase(z))

 

 

On remarque que ''Python'' utilise le mot ''phase'' et non le mot ''argument''. ''cmath'' permet aussi de calculer d'un coup le module et l'argument d'un nombre complexe avec ''polar'' :

 

from cmath import *

z=complex(4,3)

print(polar(z))

 

Pour réaliser l'opération inverse (calculer l'exponentielle d'un nombre imaginaire), on utilise ''rect'' :

 

from cmath import *

print(rect(2,pi/3))

 

Par exemple, si on veut calculer le plus petit angle et l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés 12 cm et 5 cm, on peut faire ceci :

 

from cmath import *

a=12

print(phase(z))

print(abs(z))

 

== Fonctions ==

Pour vérifier numériquement que <math>e^{\frac{\pi}{3}i}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}</math>, on peut utiliser l'exponentielle d'un nombre complexe (en l’occurrence, imaginaire) :

 

from cmath import *

t=complex(0,pi/3)

print(z.real-0.5)

print(z.imag==sqrt(3)/2)

 

On voit que la partie réelle n'est pas tout-à-fait égale à 0,5 (la différence est minime mais non nulle), c'est encore une conséquence de la représentation binaire des nombres en machine, puisque le développement binaire de 0,5 est infini, contrairement à son développement décimal.

Le script suivant calcule et affiche les fonctions trigonométriques hyperboliques d'un complexe :

 

from cmath import *

z=complex(4,3)

print(sinh(z))

print(tanh(z))

 

=== Logarithmes ===

Le script suivant calcule et affiche les fonctions trigonométriques hyperboliques d'un complexe :

 

from cmath import *

z=complex(4,3)

print(log(z))

 

Le script suivant calcule et affiche les arguments des fonctions trigonométriques hyperboliques d'un complexe :

 

from cmath import *

z=complex(4,3)

print(asinh(z))

print(atanh(z))

 

 

Le script suivant calcule et affiche les fonctions trigonométriques d'un complexe :

 

from cmath import *

z=complex(4,3)

print(sin(z))

print(tan(z))

 

 

Le script suivant calcule et affiche les arcs des fonctions trigonométriques d'un complexe :

 

from cmath import *

z=complex(4,3)

print(asin(z))

print(atan(z))