« Les suites et séries/Les séries de Riemann » : différence entre les versions
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Ligne 66 :
: <math>\frac{1}{a} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n + 1} \leq \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{a \cdot n + b}</math>
On sait que la série <math>\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n + 1}</math> diverge, ce qui fait que le terme de gauche diverge. La série harmonique généralisée étant encore supérieure, elle diverge elle aussi.}}
{{démonstration|contenu =
Supposons que :
: <math>a < b</math>
Ajoutons <math>b \cdot n</math> à l'inégalité précédente :
: <math>b \cdot n + a < b \cdot n + b</math>
Si on prend l'inverse, l'inégalité s'inverse :
: <math>\frac{1}{b \cdot n + a} > \frac{1}{b \cdot n + b}</math>
On utilise la formule <math>\frac{1}{b \cdot n + b} = \frac{1}{b} \frac{1}{n + 1}</math> :
: <math>\frac{1}{b \cdot n + a} > \frac{1}{b} \frac{1}{n + 1}</math>
Prenons la série :
: <math>\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{b \cdot n + a} > \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{b} \frac{1}{n + 1}</math>
On factorise <math>1 \over b</math>
: <math>\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{b \cdot n + a} > \frac{1}{b} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n + 1}</math>
On sait que la série <math>\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n + 1}</math> diverge, ce qui fait que le terme de gauche diverge. La série harmonique généralisée étant encore supérieure, elle diverge elle aussi.}}
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