« Les suites et séries/Les séries de Riemann » : différence entre les versions
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Dans ce chapitre, nous allons voir les séries de Riemann et leurs liens avec les nombres premiers. Ces séries peuvent sembler assez peu intéressantes, mais il n'en est rien. Par exemple, les séries de Riemann sont impliquées dans diverses conjectures encore non-résolues sur les nombres premiers. Précisément, de telles suites ont un lien très fort avec la répartition des nombres premiers quand la raison est un nombre complexe. Nous aurons l'occasion de reparler de la fameuse fonction zéta de Riemann, qui n'est autre qu'une série associée à une suite de Riemann. Quelques suites de Riemann particulières donnent aussi des résultats assez intéressants quand on prend leur série (nous verrons cela dans quelques chapitres). Bref, laissons tout cela à plus tard. Nous étudierons ces suites dans les chapitre sur les sommes partielles et les séries.
==La série harmonique et ses dérivées==
==Les séries de Riemann==▼
Nous allons commencer par voir la série harmonique et ses dérivées. Nous allons voir la série harmonique, puis les séries harmoniques généralisées. Dans cette section, nous ne parlerons pas des séries harmoniques alternées. La raison est qu'un futur chapitre est complètement dédié à l'analyse des séries alternées, et que nous avons décider de parler des séries harmoniques alternées dans ce dernier. Mais il y a une autre raison : vu que la série harmonique et ses dérivées divergent, leurs versions alternées convergent conditionnellement. On peut donc les faire diverger ou converger vers n'importe quelle valeur avec les manipulations adaptées.
Les séries de Riemann ne sont autre que les séries des suites de Riemann, des suites de la forme :▼
:<math>u_n = \frac{1}{n^r}</math>▼
Le coefficient r est appelé la raison de la suite, par analogie avec les suites géométriques.▼
Les théorèmes que nous verrons dans le prochain chapitre nous disent que cette série converge ou diverge selon la valeur de sa raison :▼
* une raison inférieure ou égale à 1 fait diverger la série ;▼
* une raison supérieure à 1 la fait converger.▼
===La série harmonique===
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Cette série est équivalente à une série constante, quand on additionne tous ses termes : elle diverge ! Donc la série harmonique, dont tout les termes sont plus grands que la série précédente, diverge aussi. CQFD !}}
===Les séries harmoniques généralisées===
Les '''séries harmoniques généralisées''' sont des séries de la forme :
: <math>S_h = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{a \cdot n + b}</math>
Par exemple, on pourrait citer la série de l'inverse des entiers impairs.
Toutes divergent, sans exceptions. Le démontrer demande d'étudier deux cas : celui où <math>a \geq b</math> et celui où <math>a<b</math>.
{{démonstration|contenu =
Supposons que :
: <math>a \geq b</math>
Ajoutons <math>a \cdot n</math> à l'inégalité précédente :
: <math>a \cdot n + a \geq a \cdot n + b</math>
Si on prend l'inverse, l'inégalité s'inverse :
: <math>\frac{1}{a \cdot n + a} \leq \frac{1}{a \cdot n + b}</math>
On utilise la formule <math>\frac{1}{a \cdot n + a} = \frac{1}{a} \frac{1}{n + 1}</math> :
: <math>\frac{1}{a} \frac{1}{n + 1} \leq \frac{1}{a \cdot n + b}</math>
Prenons la série :
: <math>\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{a} \frac{1}{n + 1} \leq \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{a \cdot n + b}</math>
On factorise <math>1 \over a</math>
: <math>\frac{1}{a} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n + 1} \leq \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{a \cdot n + b}</math>
On sait que la série <math>\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n + 1}</math> diverge, ce qui fait que le terme de gauche diverge. La série harmonique généralisée étant encore supérieure, elle diverge elle aussi.}}
▲==Les séries de Riemann (non-harmonique)==
▲Les séries de Riemann ne sont autre que les séries des suites de Riemann, des suites de la forme :
▲:<math>u_n = \frac{1}{n^r}</math>
▲Le coefficient r est appelé la raison de la suite, par analogie avec les suites géométriques.
▲Les théorèmes que nous verrons dans le prochain chapitre nous disent que cette série converge ou diverge selon la valeur de sa raison :
▲* une raison inférieure ou égale à 1 fait diverger la série ;
▲* une raison supérieure à 1 la fait converger.
===La série de l'inverse des carrés===
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