« Les suites et séries/Les suites de puissances et la formule de Faulhaber » : différence entre les versions

Les coefficients fractionnaires placés juste avant les coefficients binomiaux sont appelés les '''nombres de Bernoulli ''', en référence à leur découvreur. En soi, les nombres de Bernoulli sont conçus de manière à ce que la méthode présentée au-dessus marche. On peut les fabriquer par des séries génératrices ou d'autres méthodes assez complexes, mais ils n'ont rien de particuliers à eux seuls. Du moins, c'est ce qui apparait au premier abord, mais ils sont utilisés dans divers développements mathématiques, comme en analyse, en théorie des nombres et dans d'autres domaines. Le énième nombre de la suite de Bernoulli sera notés <math>B_n</math> dans ce qui suit. Les premiers nombres de Bernoulli sont : <math>B_0 = 1,\quad B_1 =-\tfrac12,\quad B_2 =\tfrac16, \quad B_3 = 0,\quad B_4 = -\tfrac1{30}\quad\dots</math> Tous les termes impairs au-delà de <math>B_1</math> sont égaux à zéro, ce qui élimine beaucoup de termes. Ils sont définis par la formule récursive suivante :