« Les suites et séries/Les suites de puissances et la formule de Faulhaber » : différence entre les versions
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Ligne 350 :
Formalisons les observations précédentes. Pour commencer, les premières observations nous disent que la formule est un polynôme de degré <math>k+1</math> :
: <math>\sum_{i=0}^{n} i^k = \sum_{i=0}^{n} \left( a_i \cdot n^{k+1-i} \right) = a \cdot n^{k+1} + b \cdot n^k + c \cdot n^{k-1} + d \cdot n^{k-2} + ...
On factorise alors <math>k+1</math>, ce qui donne des polynômes obtenus de la forme :
: <math>\sum_{i=0}^{n} i^k = \frac{1}{k + 1} \sum_{i=0}^{n} \left( k_i \cdot n^{k+1-i} \right) = \frac{1}{k + 1} \left[ k_1 \cdot n^{k+1} + k_2 \cdot n^k + k_2 \cdot n^{k-1} + k_3 \cdot n^{k-2} + ... \right]</math>
On sait que les coefficients <math>k_i</math> sont le produit d'un coefficient binomial <math>{k+1 \choose i}</math> par le nombre de Bernoulli <math>B_i</math>.
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