« Les suites et séries/Les suites de puissances et la formule de Faulhaber » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
Ligne 335 :
: <math>\sum_{x = 1}^n x^5 = \frac{1}{6} \left[ {5 \choose 0} n^6 + {6 \choose 1} \cdot \frac{1}{2} \cdot n^5 + {6 \choose 2} \cdot \frac{1}{6} \cdot n^4 + {6 \choose 3} \cdot 0 \cdot n^3 + {6 \choose 4} \cdot \frac{1}{30} \cdot n^2 + {6 \choose 5} \cdot 0 \cdot n \right]</math>
: <math>\sum_{x = 1}^n x^6 = \frac{1}{7} \left[ {7 \choose 0} n^7 + {7 \choose 1} \cdot \frac{1}{2} \cdot n^6 + {7 \choose 2} \cdot \frac{1}{6} \cdot n^5 + {7 \choose 3} \cdot 0 \cdot n^4 + {7 \choose 4} \cdot \frac{1}{30} \cdot n^3 + {7 \choose 5} \cdot 0 \cdot n^2 + {7 \choose 6} \cdot \frac{1}{42} \cdot n \right]</math>
[[File:Bernoulli numbers graphs.svg|vignette|Graphe des premiers nombres de Bernoulli.]]
Ligne 345 ⟶ 343 :
: <math>B_1 = {1 \over2}</math>
: <math>\frac{1}{m+1} \sum_{i=0}^{m} {m+1 \choose i} B_i = 1</math>
En soi, les nombres de Bernoulli sont conçus de manière à ce que la méthode présentée au-dessus marche. On peut les fabriquer par des séries génératrices ou d'autres méthodes assez complexes, mais ils n'ont rien de particuliers à eux seuls. Du moins, c'est ce qui apparait au premier abord, mais ils sont utilisés dans divers développements mathématiques, comme en analyse, en théorie des nombres et dans d'autres domaines.
===La formule de Faulbaher : formalisation===
| |||