« Les suites et séries/Les suites de puissances et la formule de Faulhaber » : différence entre les versions
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Ligne 296 :
: <math>1^k + 2^k + 3^k + 4^k + ... + n^k = \sum_{i=0}^{n} i^k</math>
Elle s'appelle la '''formule de Faulhaber''', du nom de son découvreur
===Une approche intuitive de la formule de Faulhaber===
Pour comprendre comment elle a été découverte, étudions quelques exemples.
: <math>\sum_{x = 1}^n x^0= n</math>
Ligne 315 ⟶ 319 :
: <math>\sum_{x = 1}^n x^5 = \frac{1}{6} \left[ n^6 + 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot n^5 + 15 \cdot \frac{5}{6} \cdot n^4 + 15 \cdot \frac{1}{30} \cdot n^2 \right]</math>
: <math>\sum_{x = 1}^n x^6 = \frac{1}{7} \left[ n^7 + 7 \cdot \frac{1}{2} \cdot n^6 + 21 \cdot \frac{1}{6} \cdot n^5 + 35 \cdot \frac{1}{30} \cdot n^2 + 7 \cdot \frac{1}{42} \cdot n \right]</math>
: <math>\sum_{i=0}^{n} i^k = \frac{1}{k + 1} \left[ k_1 \cdot n^{k+1} + k_2 \cdot n^k + k_2 \cdot n^{k-1} + k_3 \cdot n^{k-2} + ... \right]</math>▼
[[File:PascalFibonacci.svg|vignette|Triangle de Pascal.]]
Ligne 335 :
: <math>\sum_{x = 1}^n x^5 = \frac{1}{6} \left[ {5 \choose 0} n^6 + {6 \choose 1} \cdot \frac{1}{2} \cdot n^5 + {6 \choose 2} \cdot \frac{1}{6} \cdot n^4 + {6 \choose 3} \cdot 0 \cdot n^3 + {6 \choose 4} \cdot \frac{1}{30} \cdot n^2 + {6 \choose 5} \cdot 0 \cdot n \right]</math>
: <math>\sum_{x = 1}^n x^6 = \frac{1}{7} \left[ {7 \choose 0} n^7 + {7 \choose 1} \cdot \frac{1}{2} \cdot n^6 + {7 \choose 2} \cdot \frac{1}{6} \cdot n^5 + {7 \choose 3} \cdot 0 \cdot n^4 + {7 \choose 4} \cdot \frac{1}{30} \cdot n^3 + {7 \choose 5} \cdot 0 \cdot n^2 + {7 \choose 6} \cdot \frac{1}{42} \cdot n \right]</math>
: <math>\sum_{i=0}^{n} i^k = \frac{1}{k + 1} \sum_{i=0}^{n} \left[ k_i \cdot {k+1 \choose i} \cdot n^{k+1-i} \right]</math>▼
Reste à étudier les coefficients fractionnaires qui restent.
[[File:Bernoulli numbers graphs.svg|vignette|Graphe des premiers nombres de Bernoulli.]]
Les coefficients fractionnaires placés juste avant les coefficients binomiaux
: <math>B_0 = 1</math>
Ligne 354 ⟶ 346 :
: <math>\frac{1}{m+1} \sum_{i=0}^{m} {m+1 \choose i} B_i = 1</math>
===La formule de
Formalisons les observations précédentes. Pour commencer, les premières observations nous disent que la formule est un polynôme de degré <math>k+1</math> :
▲: <math>\sum_{i=0}^{n} i^k = a \
On factorise alors <math>k+1</math>, ce qui donne des polynômes obtenus de la forme :
▲: <math>\sum_{i=0}^{n} i^k = \frac{1}{k + 1} \left[ k_1 \cdot n^{k+1} + k_2 \cdot n^k + k_2 \cdot n^{k-1} + k_3 \cdot n^{k-2} + ... \right]</math>
On sait que les coefficients <math>k_i</math> sont le produit d'un coefficient binomial <math>{k+1 \choose i}</math> par le nombre de Bernoulli <math>B_i</math>.
: <math>\sum_{i=0}^{n} i^k = \frac{1}{k + 1} \sum_{i=0}^{n} \left[ {k+1 \choose i} \cdot B_i \cdot n^{k+1-i} \right]</math>
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