« Les suites et séries/Les suites de puissances et la formule de Faulhaber » : différence entre les versions
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[[File:PascalFibonacci.svg|vignette|Triangle de Pascal.]]
Reste à trouver un moyen de calculer les coefficients, dont on voit qu'ils sont le produit de deux termes : un terme entier et une fraction. Maintenant, comparons les termes entiers avec ceux du triangle de Pascal, un triangle de nombres très connu en mathématiques et souvent utilisé dans des domaines divers. On voit que les termes entiers correspondent exactement à ceux du triangle de Pascal. Un triangle de pascal est donné ci-contre pour que vous puissiez comparer avec les termes des polynômes précédents. Par définition, le nombre situé à la ligne numéro <math>i</math> et la colonne <math>j</math> est égal à ce qu'on appelle le coefficient binomial <math>{i \choose j}</math>. Pour rappel, le coefficient binomial <math>{i \choose j}</math> donne le nombre de configurations de <math>i</math> éléments parmi un ensemble de <math>j</math> éléments. On les calcule avec la formule suivante :
: <math>{n \choose k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}</math>.
Les polynomes précédents se reformulent donc :
: <math>\sum_{x = 1}^n x^0 = \frac{1}{1} \left[ {1 \choose 0} n \right]</math>
: <math>\sum_{x = 1}^n x^1 = \frac{1}{2} \left[ {2 \choose 0} n^2 + {2 \choose 1} \cdot \frac{1}{2} \cdot n \right]</math>
: <math>\sum_{x = 1}^n x^2 = \frac{1}{3} \left[ {3 \choose 0} n^3 + {3 \choose 1} \cdot \frac{1}{2} \cdot n^2 + {3 \choose 2} \cdot \frac{1}{6} \cdot n^1 \right]</math>
: <math>\sum_{x = 1}^n x^3 = \frac{1}{4} \left[ {4 \choose 0} n^4 + {4 \choose 1} \cdot \frac{1}{2} \cdot n^3 + {4 \choose 2} \cdot \frac{1}{6} \cdot n^2 + {4 \choose 3} \cdot 0 \cdot n \right]</math>
: <math>\sum_{x = 1}^n x^4 = \frac{1}{5} \left[ {5 \choose 0} n^5 + {5 \choose 1} \cdot \frac{1}{2} \cdot n^4 + {5 \choose 2} \cdot \frac{1}{6} \cdot n^3 + {5 \choose 3} \cdot 0 \cdot n^2 + {5 \choose 4} \cdot \frac{1}{30} \cdot n \right]</math>
: <math>\sum_{x = 1}^n x^5 = \frac{1}{6} \left[ {5 \choose 0} n^6 + {6 \choose 1} \cdot \frac{1}{2} \cdot n^5 + {6 \choose 2} \cdot \frac{1}{6} \cdot n^4 + {6 \choose 3} \cdot 0 \cdot n^3 + {6 \choose 4} \cdot \frac{1}{30} \cdot n^2 + {6 \choose 5} \cdot 0 \cdot n \right]</math>
: <math>\sum_{x = 1}^n x^6 = \frac{1}{7} \left[ {7 \choose 0} n^7 + {7 \choose 1} \cdot \frac{1}{2} \cdot n^6 + {7 \choose 2} \cdot \frac{1}{6} \cdot n^5 + {7 \choose 3} \cdot 0 \cdot n^4 + {7 \choose 4} \cdot \frac{1}{30} \cdot n^3 + {7 \choose 5} \cdot 0 \cdot n^2 + {7 \choose 6} \cdot \frac{1}{42} \cdot n \right]</math>
La somme des puissances s'écrit donc :
Ligne 330 ⟶ 340 :
: <math>\sum_{i=0}^{n} i^k = \frac{1}{k + 1} \sum_{i=0}^{n} \left[ k_i \cdot {k+1 \choose i} \cdot n^{k+1-i} \right]</math>
Reste à étudier les
===Les nombres de Bernoulli===
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