« Les suites et séries/Les suites de puissances et la formule de Faulhaber » : différence entre les versions
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Ligne 320 :
: <math>\sum_{i=0}^{n} i^k = \frac{1}{k + 1} \left[ k_1 \cdot n^{k+1} + k_2 \cdot n^k + k_2 \cdot n^{k-1} + k_3 \cdot n^{k-2} + ... \right]</math>
[[File:PascalFibonacci.svg|vignette|Triangle de Pascal.]]
Reste à trouver un moyen de calculer les coefficients, dont on voit qu'ils sont le produit de deux termes : un terme entier et une fraction. Maintenant, comparons les termes entiers avec ceux du triangle de Pascal, un triangle de nombres très connu en mathématiques et souvent utilisé dans des domaines divers. On voit que les termes entiers correspondent exactement à ceux du triangle de Pascal. Un triangle de pascal est donné ci-contre pour que vous puissiez comparer avec les termes des polynômes précédents. Par définition, le nombre situé à la ligne numéro <math>i</math> et la colonne <math>j</math> est égal à ce qu'on appelle le coefficient binomial <math>{i choose j</math>. Pour rappel, le coefficient binomial <math>{i \choose j}</math> donne le nombre de configurations de <math>i</math> éléments parmi un ensemble de <math>j</math> éléments. On les calcule avec la formule suivante :
: <math>{n \choose k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}</math>.''▼
La somme des puissances s'écrit donc :
: <math>\sum_{i=0}^{n} i^k = \frac{1}{k + 1} \sum_{i=0}^{n} \left[ k_i \cdot {k+1 \choose i} \cdot n^{k+1-i} \right]</math>
Reste à étudier les coefficient fractionnaires qui restent.
===Les nombres de Bernoulli===
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[[File:Bernoulli numbers graphs.svg|vignette|Graphe des premiers nombres de Bernoulli.]]
Les coefficients fractionnaires placés juste avant les coefficients binomiaux appartiennent à une suite de nombres un peu particulière. On les appelle les '''nombres de Bernoulli ''', en référence à leur découvreur. Le énième nombre de la suite de Bernoulli sera notés <math>B_n</math> dans ce qui suit. Les premiers nombres de Bernoulli sont : <math>B_0 = 1,\quad B_1 =-\tfrac12,\quad B_2 =\tfrac16, \quad B_3 = 0,\quad B_4 = -\tfrac1{30}\quad\dots</math>. Beaucoup sont égaux à zéro, ce qui élimine beaucoup de termes.
Ils sont définis par la formule récursive suivante :
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: <math>\sum_{i=0}^{n} i^k = \frac{1}{k + 1} \sum_{i=0}^{n} \left[ {k+1 \choose i} \cdot B_i \cdot n^{k+1-i} \right]</math>
Une formule équivalente, mais plus lisible, est la suivante :
| |||