« Les suites et séries/Les suites de puissances et la formule de Faulhaber » : différence entre les versions

Elle s'appelle la '''formule de Faulhaber''', du nom de son découvreur. Pour comprendre comment elle a été découverte, il faut faire une petite remarque en partant des premiers cas.

 

: <math>\sum_{x = 1}^n x^1 = \frac{1}{2} n^2 + \frac{1}{2} n</math>

: <math>\sum_{x = 1}^n x^2 = \frac{1}{3} n^3 + \frac{1}{2} n^2 + \frac{1}{6} n</math>

On voit que la formule finale est toujours un polynôme de degré égal à <math>k + 1</math>. Le premier terme est toujours de la forme <math>n^k \over k+1</math>. En factorisant <math>k+1</math>, on obtient :

 

: <math>\sum_{x = 1}^n x^1 = \frac{1}{2} \left[ n^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} n \right]</math>

: <math>\sum_{x = 1}^n x^2 = \frac{1}{3} \left[ n^3 + 3 \cdot \frac{1}{2} n^2 + 3 \cdot \frac{1}{6} n \right]</math>