« Les suites et séries/Les suites de puissances et la formule de Faulhaber » : différence entre les versions
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Elle s'appelle la '''formule de Faulhaber''', du nom de son découvreur. Pour comprendre comment elle a été découverte, il faut faire une petite remarque en partant des premiers cas.
: <math>\sum_{x = 1}^n x^1 = \frac{1}{2} n^2 +
: <math>\sum_{x = 1}^n x^2 = \frac{
: <math>\sum_{x = 1}^n x^3 = \frac{1}{4} n^4 +
: <math>\sum_{x = 1}^n x^4 = \frac{
: <math>\sum_{x = 1}^n x^5 = \frac{1}{
: <math>\sum_{x = 1}^n x^6 = \frac{1}{
On voit que la formule finale est toujours un polynôme de degré égal à <math>k + 1</math>
: <math>\sum_{x = 1}^n x^1 = \frac{1}{2} \left[ n^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} n \right]</math>
: <math>\sum_{x = 1}^n x^2 = \frac{1}{3} \left[ n^3 + 3 \cdot \frac{1}{2} n^2 + 3 \cdot \frac{1}{6} n \right]</math>
: <math>\sum_{x = 1}^n x^3 = \frac{1}{4} \left[ n^4 + 4 \cdot \frac{1}{2} n^3 + 6 \cdot \frac{1}{6} n^2 \right]</math>
: <math>\sum_{x = 1}^n x^4 = \frac{1}{5} \left[ n^5 + 5 \cdot \frac{1}{2} n^4 + 10 \cdot \frac{1}{6} n^3 + 5 \cdot \frac{1}{30} n^2 \right]</math>
: <math>\sum_{x = 1}^n x^5 = \frac{1}{6} \left[ n^6 + 6 \cdot \frac{1}{2} n^5 + 15 \cdot \frac{5}{6} n^4 + 15 \cdot \frac{1}{30} n^2 \right]</math>
: <math>\sum_{x = 1}^n x^6 = \frac{1}{7} \left[ n^7 + 7 \cdot \frac{1}{2} n^6 + 21 \cdot \frac{1}{6} n^5 + 35 \cdot \frac{1}{30} n^2 + 7 \cdot \frac{1}{42} n \right]</math>
Les polynômes obtenus ainsi sont de la forme :
: <math>\sum_{i=0}^{n} i^k = \frac{1}{k + 1} \left[ k_1 \cdot n^{k+1} + k_2 \cdot n^k + k_2 \cdot n^{k-1} + k_3 \cdot n^{k-2} + ... \right]</math>
| |||