« Les suites et séries/Les suites de puissances et la formule de Faulhaber » : différence entre les versions
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[[File:Démonstration géométrique de la somme partielle des carrés.png|centre|vignette|upright=2.0|Démonstration géométrique de la somme partielle des carrés - illustration avec k = 2 et n=8.]]
On peut alors combiner la formule précédent avec la formule <math>\sum_{i=0}^{n} i = \frac{n^2 + n}{2}</math>. On a alors :
: <math>(n+1) \sum_{i=0}^{n} i = \sum_{i=0}^{n} i^2 + \sum_{p=0}^{n} \frac{p^2 + p}{2}</math>
On sort le 1/2 du dernier terme :
: <math>(n+1) \sum_{i=0}^{n} i = \sum_{i=0}^{n} i^2 + \frac{1}{2} \sum_{p=0}^{n} (p^2 + p)</math>
On développe la dernière somme :
: <math>(n+1) \sum_{i=0}^{n} i = \sum_{i=0}^{n} i^2 + \frac{1}{2} \sum_{p=0}^{n} p^2 + \frac{1}{2} \sum_{p=0}^{n} p</math>
On soustrait la somme <math>\frac{1}{2} \sum_{p=0}^{n} p</math> deux deux cotés :
: <math>\left( n + \frac{1}{2} \right) \sum_{i=0}^{n} i = \sum_{i=0}^{n} i^2 + \frac{1}{2} \sum_{p=0}^{n} p^2</math>
Le terme de droit se factorise en :
: <math>\left( n + \frac{1}{2} \right) \sum_{i=0}^{n} i = \frac{3}{2} \sum_{i=0}^{n} i^2</math>
On multiplie par <math>2 \over 3</math> des deux cotés :
: <math>\frac{2 n + 1}{3} \sum_{i=0}^{n} i = \sum_{i=0}^{n} i^2</math>
En faisant le remplacement, on trouve :
: <math>\sum_{i=0}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)}{2} \frac{2 n + 1}{3}</math>
Soit le même résultat que nous avions trouvé plus haut.
===Le cas de la somme des cubes===
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