« Les suites et séries/Les suites de puissances et la formule de Faulhaber » : différence entre les versions

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[[File:Somme-des-carrés (cl).jpg|centre|vignette|upright=2.0|Preuve géométrique de la formule de la somme des carrés.]]
 
L'observation géométriquesgéométrique précédente peut se traduire en équation. Le pavé est composé de trois pyramides, plus du énième nombre triangulaire. En notant <math>V_{pyramide}</math> le volume d'une pyramide et <math>T_n</math> le énième nombre triangulaire, on a :
 
: <math>3 \cdot V_{pyramide} - T_n = V_{pave} + T_n</math>
 
Le pavé a un volume de <math>n^2 \cdot (n+1) = n^3 + n^2</math>.
 
: <math>3 \cdot V_{pyramide} - T_n = n^3 + n^2 + T_n</math>
 
Le énième nombre triangulaire vaut <math>\frac{n(n+1)}{2} = \frac{n^2 + n}{2} = \frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}</math> :
 
: <math>3 \cdot V_{pyramide} -= n^3 + n^2 + \frac{n^2}{2} -+ \frac{n}{2} = n^3 + n^2</math>
 
Enfin, le volume d'une pyramide est la somme des n premiers carrés.
 
: <math>3 \cdot \left( \sum_{i=0}^{n-1} i^2 \right) -= n^3 + n^2 + \frac{n^2}{2} -+ \frac{n}{2} = n^3 + n^2</math>
 
Simplifions :
On ajoute <math>\frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}</math> des deux cotés :
 
: <math>3 \cdot \left( \sum_{i=0}^{n-1} i^2 \right) = n^3 + \frac{3 n^2}{2} + \frac{n}{2}</math>
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: <math>\sum_{i=0}^{n-1} i^2 = \frac{n^3}{3} + \frac{3 n^2}{6} + \frac{n}{6}</math>
 
Mettons au même dénominateur :
 
: <math>\sum_{i=0}^{n-1} i^2 = \frac{2 n^3}{6} + \frac{3 n^2}{6} + \frac{n}{6}</math>
 
Simplifions :
 
: <math>\sum_{i=0}^{n-1} i^2 = \frac{2 \cdot n^3}{3} + 3 \frac{n^2}{2} + \frac{n}{6}</math>}}
 
{{démonstration | contenu =