« Les suites et séries/Les suites de puissances et la formule de Faulhaber » : différence entre les versions
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Ligne 24 :
[[File:Somme-des-carrés (cl).jpg|centre|vignette|upright=2.0|Preuve géométrique de la formule de la somme des carrés.]]
L'observation
: <math>3 \cdot V_{pyramide}
Le pavé a un volume de <math>n^2 \cdot (n+1) = n^3 + n^2</math>.
: <math>3 \cdot V_{pyramide}
Le énième nombre triangulaire vaut <math>\frac{n(n+1)}{2} = \frac{n^2 + n}{2} = \frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}</math> :
: <math>3 \cdot V_{pyramide}
Enfin, le volume d'une pyramide est la somme des n premiers carrés.
: <math>3 \cdot \left( \sum_{i=0}^{n-1} i^2 \right)
Simplifions :
: <math>3 \cdot \left( \sum_{i=0}^{n-1} i^2 \right) = n^3 + \frac{3 n^2}{2} + \frac{n}{2}</math>
Ligne 47 :
: <math>\sum_{i=0}^{n-1} i^2 = \frac{n^3}{3} + \frac{3 n^2}{6} + \frac{n}{6}</math>
Simplifions :
: <math>\sum_{i=0}^{n-1} i^2 = \frac{
{{démonstration | contenu =
|