« Les suites et séries/Les suites de puissances et la formule de Faulhaber » : différence entre les versions
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Ligne 13 :
La somme des n premiers carrés, qui n'est autre que le énième nombre pyramidal carré, vaut :
: <math>\sum_{x = 1}^n x^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} = \frac{n(n + 1)}{2} \frac{2n + 1}{3} = \frac{2 n^3 + 3 n^2 + n}{6}
{{démonstration|contenu =
Ligne 20 :
Cette somme peut se représenter sous la forme d'une figure géométrique, comme les nombres triangulaires. Mais cette forme est en trois dimensions : c'est une pyramide dont la base est carrée. D'où le nom de '''nombres pyramidaux carrés''' donné aux nombres provenant d'une somme des n premiers carrés. On voit que la pyramide est composée de plusieurs couches (n couches pour être précis), chaque couche étant un carré. La somme des carrés correspond donc au volume de la pyramide et ce fait nous permet de trouver une formule pour le calculer.
Prenons trois de ces pyramides, et assemblons-les comme illustré ci-dessous. On voit que le résultat ressemble à un pavé de coté (n, n, n+1), si ce n'est qu'il
[[File:Somme-des-carrés (cl).jpg|centre|vignette|upright=2.0|Preuve géométrique de la formule de la somme des carrés.]]
L'observation géométriques précédente peut se traduire en équation. Le pavé est composé de trois pyramides, plus du énième nombre triangulaire
: <math>3 \cdot V_{pyramide}
Le pavé a un volume de <math>n^2 \cdot (n+1) = n^3 + n^2</math>.
: <math>3 \cdot V_{pyramide}
Le énième nombre triangulaire
: <math>3 \cdot V_{pyramide}
Enfin, le volume d'une pyramide est la somme des n premiers carrés.
: <math>3 \cdot \left( \sum_{i=0}^{n-1} i^2 \right)
On
: <math>3 \cdot \left( \sum_{i=0}^{n-1} i^2 \right) = n^3 + \frac{3 n^2}{2} + \frac{n}{2}</math>
On divise par trois :
: <math>\sum_{i=0}^{n-1} i^2 = \frac{n^3}{3} + \frac{3 n^2}{6} + \frac{n}{6}</math>
Mettons au même dénominateur :
: <math>\sum_{i=0}^{n-1} i^2 = \frac{2 n^3}{6} + \frac{3 n^2}{6} + \frac{n}{6}</math>
Simplifions :
: <math>\sum_{i=0}^{n-1} i^2 = \frac{2 \cdot n^3 + 3 n^2 + n}{6}</math>}}
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| |||