« Les suites et séries/Les suites de puissances et la formule de Faulhaber » : différence entre les versions

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le raisonnement peut se généraliser pour un k quelconque. Il suffit de prendre un rectangle de hauteur <math>n+1</math> et de longueur égale à <math>\sum_{i=0}^{n} i^{k-1}</math> (donc une puissance en-dessous de celle voulue). Sa surface totale est donc de :
 
: <math>S_{rectangle total} = (n+1) \sum_{i=0}^{n} i^{k-1}</math>
 
On peut ensuite découper la longueur en segments de longueur <math>1^{k-1}, 2^k, 3^{k-1}, 4^{k-1}, ..., n^{k-1}</math>. On peut alors créer des rectangles avec chaque segment, dont la hauteur est de k. Leur surface est donc égale à <math>1^{k}, 2^{k}, 3^{k}, 4^{k}, ..., n^{k}</math>. La somme totale de ces rectangle a une surface de :
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En combinant tout cela, on a la formule générale :
 
: <math>S_{rectangle total} = S_{sous-rectangles} + S_{lignes}</math>
 
En faisant le remplacement avec les équations précédentes, on trouve :