« Les suites et séries/Les suites de puissances et la formule de Faulhaber » : différence entre les versions
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[[File:Démonstration géométrique de la somme partielle des carrés.png|centre|vignette|upright=2.0|Démonstration géométrique de la somme partielle des carrés - illustration avec k = 2 et n=8.]]
===Le cas de la somme des cubes===
Le raisonnement précédent marche aussi pour la somme des cubes, sous réserve que l'on change la longueur du rectangle. On garde une hauteur de (n+1), sauf que cette fois-ci la longueur du rectangle est changée pour la somme des carrés <math>\sum_{i=0}^{n} i^2</math>. Sa surface totale est donc de :
: <math>S_{rectangle total} = (n+1) \sum_{i=0}^{n} i^2</math>
On peut ensuite découper la longueur en segments de longueur <math>1^2, 2^2, 3^2, 4^2, ..., n^2</math>. On peut alors créer des rectangles avec chaque segment, dont la hauteur est de k. Leur surface est donc égale à <math>1^3, 2^3, 3^3, 4^3, ..., n^3</math>. La somme totale de ces rectangle a une surface de :
: <math>S_{sous-rectangles} = \sum_{i=0}^{n} i^3</math>
La différence entre les deux sommes précédentes est composé d'une somme de lignes. Chaque ligne a pour surface la somme des carrés jusqu’à un certain rang, tous les rang étant représentés. La surface totale occupée par ces lignes est donc de :
: <math>S_{lignes} = \sum_{p=0}^{n} \sum_{i=0}^{p} i^{2}</math>
En combinant tout cela, on a la formule générale :
: <math>S_{rectangle total} = S_{sous-rectangles} + S_{lignes}</math>
En faisant le remplacement avec les équations précédentes, on trouve :
: <math>(n+1) \sum_{i=0}^{n} i^3 = \sum_{i=0}^{n} i^3 + \sum_{p=0}^{n} \sum_{i=0}^{p} i^2</math>
[[File:Démonstration géométrique de la somme partielle des cubes - illustration avec n=4.png|centre|vignette|upright=2.0|Démonstration géométrique de la somme partielle des cubes - illustration avec n=4.]]▼
===Le cas général===
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: <math>(n+1) \sum_{i=0}^{n} i = \sum_{i=0}^{n} i^2 + \sum_{p=0}^{n} \sum_{i=0}^{p} i</math>
▲[[File:Démonstration géométrique de la somme partielle des cubes - illustration avec n=4.png|centre|vignette|upright=2.0|Démonstration géométrique de la somme partielle des cubes - illustration avec n=4.]]
==Le cas général : la formule de Faulhaber==
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