« Les suites et séries/Les suites de puissances et la formule de Faulhaber » : différence entre les versions
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===Le cas de la somme des carrés===
La formule se comprend assez bien sous forme géométrique. Pour l'étudier, commençons par le cas le plus simple, où l'on cherche à avoir la somme des carrés. Pour cela, étudions un rectangle tel que sa hauteur soit égale à <math>n+1
: <math>S_{rectangle} = (n+1) \cdot \sum_{i=0}^{n} i</math>
[[File:Démonstration géométrique de la somme partielle des carrés.png|centre|vignette|upright=2.0|Démonstration géométrique de la somme partielle des carrés - illustration avec k = 2 et n=8.]]▼
Sur sa longueur, on a découpé les distances égales à 1, 2, 3, 4, etc. En jaune, on représente les carrés de coté 1, 2, 3, 4, etc. L'aire en jaune est donc égale à :
Sur la première ligne, on voit qu'il manque (1+2+3+4+..+n). Sur la seconde ligne, il manque (1+2+3+4+5+ ... + (n-1). Et ainsi de suite. On obtient donc la formule vue plus haut, mais dans le cas où k=2:▼
: <math>S_{carres} = \sum_{i=0}^{n} i^2</math>
▲Il ne reste qu'à calculer la différence entre rectangle et somme des carrés. Sur la première ligne, on voit qu'il manque (1+2+3+4+..+n). Sur la seconde ligne, il manque (1+2+3+4+5+ ... + (n-1). Et ainsi de suite.
: <math>S_{manquante} = \sum_{p=0}^{n} \sum_{i=0}^{p} i</math>
En combinant le tout, on obtient la formule vue plus haut, mais dans le cas où k=2:
: <math>(n+1) \sum_{i=0}^{n} i = \sum_{i=0}^{n} i^2 + \sum_{p=0}^{n} \sum_{i=0}^{p} i</math>
▲[[File:Démonstration géométrique de la somme partielle des carrés.png|centre|vignette|upright=2.0|Démonstration géométrique de la somme partielle des carrés - illustration avec k = 2 et n=8.]]
===Le cas général===
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