« Les suites et séries/Les suites de puissances et la formule de Faulhaber » : différence entre les versions

La formule se comprend assez bien sous forme géométrique. Pour l'étudier, commençons par le cas le plus simple, où l'on cherche à avoir la somme des carrés. Pour cela, étudions un rectangle tel que sa hauteur soit égale à n+1, et sa longueur soit égale à la somme <math>\sum_{i=0}^{n} i</math> des premiers entiers. Ce cas est illustré ci-dessous. Sur sa longueur, on a découpé les distances égales à 1, 2, 3, 4, etc. On a aussi représenté les carrés de coté 1, 2, 3, 4, etc. Il ne reste qu'à calculer la différence entre rectangle et somme des carrés.

 

 

Sur la première ligne, on voit qu'il manque (1+2+3+4+..+n). Sur la seconde ligne, il manque (1+2+3+4+5+ ... + (n-1). Et ainsi de suite. On obtient donc la formule vue plus haut, mais dans le cas où k=2: