« Les suites et séries/Les suites de puissances et la formule de Faulhaber » : différence entre les versions
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Ligne 195 :
: <math>\left(\sum_{i=0}^{n} i \right)^2 = \sum_{i=0}^{n} i^3</math>
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==Le cas général : la méthode du rectangle==
Dans cette section, nous allons voir une méthode générale pour calculer la somme :
: <math>1^k + 2^k + 3^k + 4^k + ... + n^k = \sum_{i=0}^{n} i^k</math>
La méthode en question demande cependant de connaitre les sommes pour la puissance immédiatement inférieure k-1. En clair, pour calculer la somme pour k=5, il faut connaitre la formule pour k=4. La formule en question est la suivante :
: <math>(n+1) \sum_{i=0}^{n} i^{k-1} = \sum_{i=0}^{n} i^k + \sum_{p=0}^{n} \sum_{i=0}^{p} i^{k-1}</math>
La formule se comprend assez bien sous forme géométrique. Pour l'étudier, commençons par le cas le plus simple, où l'on cherche à avoir la somme des carrés. Pour cela, étudions un rectangle tel que sa hauteur soit égale à n+1, et sa longueur soit égale à la somme <math>\sum_{i=0}^{n} i</math> des premiers entiers. Ce cas est illustré ci-dessous. Sur sa longueur, on a découpé les distances égales à 1, 2, 3, 4, etc. On a aussi représenté les carrés de coté 1, 2, 3, 4, etc. Il ne reste qu'à calculer la différence entre rectangle et somme des carrés.
[[File:Pronic partial sum.png|centre|upright=2.0|Cas avec k = 2.]]
Sur la première ligne, on voit qu'il manque (1+2+3+4+..+n). Sur la seconde ligne, il manque (1+2+3+4+5+ ... + (n-1). Et ainsi de suite. On obtient donc la formule vue plus haut, mais dans le cas où k=2:
: <math>(n+1) \sum_{i=0}^{n} i = \sum_{i=0}^{n} i^2 + \sum_{p=0}^{n} \sum_{i=0}^{p} i</math>
Maintenant, le raisonnement peut se généraliser pour un k quelconque. Il suffit de prendre un rectangle de hauteur (n+1) et de longueur égale à <math>\sum_{i=0}^{n} i^{k-1}</math> (donc une puissance en-dessous de celle voulue). Sa surface totale est donc de :
: <math>S_{rectangle total} = (n+1) \sum_{i=0}^{n} i^{k-1}</math>
On peut ensuite découper la longueur en segments de longueur <math>1^{k-1}, 2^k, 3^{k-1}, 4^{k-1}, ..., n^{k-1}</math>. On peut alors créer des rectangles avec chaque segment, dont la hauteur est de k. Leur surface est donc égale à <math>1^{k}, 2^{k}, 3^{k}, 4^{k}, ..., n^{k}</math>. La somme totale de ces rectangle a une surface de :
: <math>S_{sous-rectangles} = \sum_{i=0}^{n} i^k</math>
La différence entre les deux sommes précédentes est composé d'une somme de ligne qui ont pour surface <math>1^{k-1}, 2^k, 3^{k-1}, 4^{k-1}, ..., n^{k-1}</math>. La surface totale occupée par ces lignes est donc de :
: <math>S_{lignes} = \sum_{p=0}^{n} \sum_{i=0}^{p} i^{k-1}</math>
En combinant tout cela, on a la formule générale :
: <math>S_{rectangle total} = S_{sous-rectangles} + S_{lignes}</math>
En faisant le remplacement avec les équations précédentes, on trouve :
: <math>(n+1) \sum_{i=0}^{n} i = \sum_{i=0}^{n} i^2 + \sum_{p=0}^{n} \sum_{i=0}^{p} i</math>
==Le cas général : la formule de Faulhaber==
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