« Les suites et séries/Les suites de puissances et la formule de Faulhaber » : différence entre les versions
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Cette identité est connue sous le nom d'identité de Nicomaque, en l'honneur du découvreur de cette formule, Nicomaque de Gérase. Il existe plusieurs démonstrations de cette formule, mais la plus simple est clairement la démonstration par induction.
{{démonstration
Pour commencer, la formule est valable pour n = 1 :
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On voit donc que la formule de Nicomaque est respectée pour n+1, si elle est respectée pour n. L'induction est donc valide.}}
{{démonstration|contenu =
[[File:A plus b au carre.svg|vignette|A plus b au carre.]]
Il existe aussi une démonstration géométrique de l'identité de Nicomaque. Cette démonstration se base sur l'étude d'un carré de coté (a+b) bien particulier. Rappelons l'identité remarquable suivante :
: <math>(a+b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2</math>
Dans le cas qui nous intéresse, nous allons prendre <math>a = \sum_{i=0}^{n-1} i</math> et <math>b = n</math>, ce qui donne <math>(a+b) = \sum_{i=0}^{n} i</math>.
On a donc :
: <math>\left(\sum_{i=0}^{n} i \right)^2 = \left( \sum_{i=0}^{n-1} i \right)^2 + 2 \cdot n \cdot \left( \sum_{i=0}^{n-1} i \right) + n^2</math>
En faisant le remplacement <math>\sum_{i=0}^{n-1} = \frac{n(n-1)}{2}</math>, on a :
: <math>\left(\sum_{i=0}^{n} i \right)^2 = \left( \sum_{i=0}^{n-1} i \right)^2 + 2 \cdot n \cdot \frac{n(n-1)}{2} + n^2</math>
Développons <math>\frac{n(n-1)}{2}</math> :
: <math>\left(\sum_{i=0}^{n} i \right)^2 = \left( \sum_{i=0}^{n-1} i \right)^2 + 2 \cdot \frac{n^3 - n^2)}{2} + n^2</math>
Simplifions le second terme de droite :
: <math>\left(\sum_{i=0}^{n} i \right)^2 = \left( \sum_{i=0}^{n-1} i \right)^2 + n^3 - n^2 + n^2</math>
: <math>\left(\sum_{i=0}^{n} i \right)^2 = \left( \sum_{i=0}^{n-1} i \right)^2 + n^3</math>
Maintenant, examinons le terme : <math>\left( \sum_{i=0}^{n-1} i \right)^2</math>. En utilisant la formule précédente, on peut l'écrire de la manière suivante : <math>(n-1)^3 + \left( \sum_{i=0}^{n-2} i \right)^2</math>. En injectant dans l'équation précédente, on a :
: <math>\left(\sum_{i=0}^{n} i \right)^2 = \left( \sum_{i=0}^{n-2} i \right)^2 + (n-1)^3 + n^3</math>
Et on répéte le procédé autant de fois qu'il le faut, jusqu'à ne plus avoir que des cubes dans le terme de droite. On a alors :
: <math>\left(\sum_{i=0}^{n} i \right)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + (n-1)^3 + n^3</math>
En clair, on a :
: <math>\left(\sum_{i=0}^{n} i \right)^2 = \sum_{i=0}^{n} i^3</math>
}}
==Le cas général : la formule de Faulhaber==
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