« Les suites et séries/La suite des entiers et les nombres polygonaux » : différence entre les versions

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: <math>\sum_{i=0}^n (k_1 \cdot i + k_2)</math>
 
On peut déduire, avec quelques développements assez simples, que cette somme partielle vaut :
 
: <math>S_n = n \frac{u_0 + u_{n + 1}}{2}</math>
 
[[File:Progresión aritmética-suma de términos-.png|vignette|Raisonnement généralisé dans le cas d'une progression arithmétique quelconque.]]
[[File:Arithmetic progression.svg|vignette|Démonstration visuelle de la somme des n premiers termes d'une progression arithmétique.]]
 
{{démonstration|contenu =
La somme partielle d'une suite arithmétique se calcule en additionnant les n premiers termes de la suite :
 
Ligne 148 ⟶ 153 :
: <math>S_n = n \times u_0 + k \times \frac{n ( n + 1 )}{2}</math>
 
Factorisons <math>n \over 2</math> :
 
: <math>S_n = n \left( u_0 + \frac{k ( n + 1 )}{2} \right)</math>
Ligne 156 ⟶ 161 :
On peut alors utiliser l'équation <math>u_{n+1} = u_0 + k(n+1)</math>, ce qui simplifie l'équation précédente en :
 
: <math>S_n = n \frac{u_0 + u_{n + 1}}{2}</math>}}
 
{{démonstration|contenu=
Partons de la définition de la somme partielle voulue :
 
: <math>\sum_{i=0}^n (k \cdot i + u_0)</math>
 
On applique la formule <math>\sum_{i = 0}^{n} (u_n + v_n) = \left( \sum_{i = 0}^{n} u_n \right) + \left( \sum_{i = 0}^{n} v_n \right)</math> :
 
: <math>\left( \sum_{i=0}^n k \cdot i \right) + \left( \sum_{i=0}^n u_0 \right)</math>
 
Par définition, le terme de droite <math>\sum_{i=0}^{n} k_2</math> est égal à <math>n \cdot u_0</math> :
 
: <math>\left( \sum_{i=0}^n k \cdot i \right) + n \cdot u_0</math>
 
Puis, on applique la formule <math>\sum_{i = 0}^{n} (k \cdot u_n) = k \cdot \left( \sum_{i = 0}^{n} u_n \right)</math> :
 
: <math>k \cdot \left( \sum_{i=0}^n i \right) + n \cdot u_0</math>
 
Le terme <math>\sum_{i=0}^n i</math> n'est autre que la somme partielle des n premiers entiers et vaut <math>n(n+1) \over 2</math>, ce qui donne :
 
: <math>k \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n \cdot u_0</math>
 
On peut alors factoriser <math>n \over 2</math> :
 
: <math>\frac{n}{2} \cdot \left[ k \cdot (n+1) + 2 \cdot u_0 \right]</math>
 
On peut alors utiliser l'équation <math>u_{n+1} = u_0 + k(n+1)</math>, ce qui simplifie l'équation précédente en :
 
: <math>S_n = n \frac{u_0 + u_{n + 1}}{2}</math>}}
 
===La somme des n premiers nombres impairs===