« Les suites et séries/La suite des entiers et les nombres polygonaux » : différence entre les versions
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Ligne 84 :
: <math>u_n = \frac{n ( n + 1 )}{2}</math>
==Les multiples de la suite des entiers==
Maintenant, nous allons voir les suites qui sont les multiples de la suite des entiers. Par multiple de la suite des entiers, nous voulons parler des suites de la forme :
Un exemple est la suite des nombres pair, pour laquelle k=2. On pourrait aussi citer la suite des multiples de 3, celle des multiples de 4, de 5, etc.
Leur somme vaut, par définition :
: <math>\sum_{i=0}^{n} \left( k \cdot i \right)</math>
En utilisant la formule : <math>\sum_{i=0}^{n} \left( k \cdot u_n \right) = k \cdot \sum_{i=0}^{n} u_n</math>, on trouve :
: <math>\sum_{i=0}^{n} \left( k \cdot i \right) = k \cdot \sum_{i=0}^{n} i</math>
Le terme de droite n'est autre que la somme de la suite de entiers, ce qui donne :
: <math>\sum_{i=0}^{n
===La somme des n premiers nombres pairs===▼
Tel est le cas de la suite des nombres pairs, dont la somme partielle est la suivante :
{{démonstration | contenu =▼
: <math>\sum_{i=0}^{n - 1} (2 i) = 2 \sum_{i=0}^{n - 1} i = 2 \left( \frac{n(n - 1)}{2} \right) = n(n - 1)</math>
}}▼
==Les suites arithmétiques==
Ligne 119 ⟶ 149 :
: <math>S_n = n \frac{u_0 + u_{n + 1}}{2}</math>
▲===La somme des n premiers nombres pairs===
▲: <math>\sum_{i=0}^n (2 i) = n(n+1)</math>
▲{{démonstration | contenu =
▲: <math>S_n = n \frac{0 + 2(n+1)}{2} = n(n+1)</math>}}
▲: <math>\sum_{i=0}^{n - 1} (2 i) = 2 \sum_{i=0}^{n - 1} i = 2 \left( \frac{n(n - 1)}{2} \right) = n(n - 1)</math>
▲}}
===La somme des n premiers nombres impairs===
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