« Les suites et séries/La suite des entiers et les nombres polygonaux » : différence entre les versions

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: <math>u_n = \frac{n ( n + 1 )}{2}</math>
 
==Les multiples de la suite des entiers==
 
Maintenant, nous allons voir les suites qui sont les multiples de la suite des entiers. Par multiple de la suite des entiers, nous voulons parler des suites de la forme :
 
: <math>\sum_{iu_n =0}^n (2k i)\cdot = n(n+1)</math>
 
Un exemple est la suite des nombres pair, pour laquelle k=2. On pourrait aussi citer la suite des multiples de 3, celle des multiples de 4, de 5, etc.
 
Leur somme vaut, par définition :
 
: <math>\sum_{i=0}^{n} \left( k \cdot i \right)</math>
 
En utilisant la formule : <math>\sum_{i=0}^{n} \left( k \cdot u_n \right) = k \cdot \sum_{i=0}^{n} u_n</math>, on trouve :
 
: <math>\sum_{i=0}^{n} \left( k \cdot i \right) = k \cdot \sum_{i=0}^{n} i</math>
 
Le terme de droite n'est autre que la somme de la suite de entiers, ce qui donne :
 
: <math>\sum_{i=0}^{n - 1} \left(2 i)k =\cdot 2i \sum_{i=0}^{n - 1} iright) = 2k \left(cdot \frac{n(n - +1)}{2} \right) = n(n - 1)</math>
 
===La somme des n premiers nombres pairs===
 
Tel est le cas de la suite des nombres pairs, dont la somme partielle est la suivante :
 
: <math>S_n = n \fracsum_{i=0}^n + 2(n+1)}{2} i) = n(n+1)</math>}}
 
{{démonstration | contenu =
: <math>\sum_{i=0}^{n - 1} (2 i) = 2 \sum_{i=0}^{n - 1} i = 2 \left( \frac{n(n - 1)}{2} \right) = n(n - 1)</math>
}}
 
==Les suites arithmétiques==
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: <math>S_n = n \frac{u_0 + u_{n + 1}}{2}</math>
 
===La somme des n premiers nombres pairs===
 
La relation précédente vaut pour toutes les suites arithmétiques. Certaines donnent, quand on utilise cette formule, des résultats intéressants. Tel est le cas de la suite des nombres pairs, dont la somme partielle est la suivante :
 
: <math>\sum_{i=0}^n (2 i) = n(n+1)</math>
 
{{démonstration | contenu =
La suite des nombres pairs est par définition une suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 2. On peut alors réutiliser la formule de calcul d'une somme partielle arithmétique, vue précédemment. Le énième nombre pair est par définition égal à : <math>u_n = 2(n+1)</math>, alors que <math>u_0 = 0</math>. En injectant dans l'équation précédente, on a :
 
: <math>S_n = n \frac{0 + 2(n+1)}{2} = n(n+1)</math>}}
 
{{démonstration | contenu =
: <math>\sum_{i=0}^{n - 1} (2 i) = 2 \sum_{i=0}^{n - 1} i = 2 \left( \frac{n(n - 1)}{2} \right) = n(n - 1)</math>
}}
 
===La somme des n premiers nombres impairs===