« Les suites et séries/La suite des entiers et les nombres polygonaux » : différence entre les versions
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: <math>u_n = \frac{n ( n + 1 )}{2}</math>
==Les suites arithmétiques==
[[File:Progresión aritmética-suma de términos-.png|vignette|Raisonnement généralisé dans le cas d'une progression arithmétique quelconque.]]
[[File:Arithmetic progression.svg|vignette|Démonstration visuelle de la somme des n premiers termes d'une progression arithmétique.]]
La somme partielle d'une suite arithmétique se calcule en additionnant les n premiers termes de la suite :
: <math>S_n = u_0 + u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + ... + u_n</math>
Remplaçons chaque terme par sa valeur paramétrée dans l'équation précédente :
: <math>S_n = u_0 + (u_0 + k) + (u_0 + 2 k) + (u_0 + 3 k) + (u_0 + 4 k) + (u_0 + 5 k) + (u_0 + 6 k) + ... + (u_0 + n k)</math>
Factorisons le terme <math>u_0</math> :
: <math>S_n = n \times u_0 + (k + 2 k + 3 k + 4 k + 5 k + 6 k + ... + n k)</math>
Factorisons maintenant <math>k</math> :
: <math>S_n = n \times u_0 + k \times (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + n)</math>
Le terme de droite : <math>(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + n)</math> n'est autre que la somme des n premiers entiers, et vaut <math>\frac{n ( n + 1 )}{2}</math> comme on l'a vu plus haut. On a alors :
: <math>S_n = n \times u_0 + k \times \frac{n ( n + 1 )}{2}</math>
Factorisons <math>n</math> :
: <math>S_n = n \left( u_0 + \frac{k ( n + 1 )}{2} \right)</math>
: <math>S_n = n \frac{2 u_0 + k ( n + 1 )}{2}</math>
On peut alors utiliser l'équation <math>u_{n+1} = u_0 + k(n+1)</math>, ce qui simplifie l'équation précédente en :
: <math>S_n = n \frac{u_0 + u_{n + 1}}{2}</math>
===La somme des n premiers nombres pairs===
La relation précédente vaut pour toutes les suites arithmétiques. Certaines donnent, quand on utilise cette formule, des résultats intéressants. Tel est le cas de la suite des nombres pairs, dont la somme partielle est la suivante :
: <math>\sum_{i=0}^n (2 i) = n(n+1)</math>
{{démonstration | contenu =
La suite des nombres pairs est par définition une suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 2. On peut alors réutiliser la formule de calcul d'une somme partielle arithmétique, vue précédemment. Le énième nombre pair est par définition égal à : <math>u_n = 2(n+1)</math>, alors que <math>u_0 = 0</math>. En injectant dans l'équation précédente, on a :
: <math>S_n = n \frac{0 + 2(n+1)}{2} = n(n+1)</math>}}
{{démonstration | contenu =
: <math>\sum_{i=0}^{n - 1} (2 i) = 2 \sum_{i=0}^{n - 1} i = 2 \left( \frac{n(n - 1)}{2} \right) = n(n - 1)</math>
}}
===La somme des n premiers nombres impairs===
Maintenant, étudions le cas de la suite des nombres impairs, dont la somme partielle est la suivante :
: <math>\sum_{i=0}^n (2 i + 1) = n^2</math>
La somme des n premiers nombres impairs donne donc le énième carré !
{{démonstration | contenu =
La suite des nombres impairs est par définition une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 2. On peut alors réutiliser la formule de calcul d'une somme partielle arithmétiques, qui est pour rappel :
: <math>S_n = n \frac{u_0 + u_{n + 1}}{2}</math>
Le énième nombre impair est par définition égal à : <math>u_n = 2n - 1</math>, alors que <math>u_0 = 1</math>. En injectant dans l'équation précédente, on a :
: <math>S_n = n \frac{1 + 2n - 1}{2} = n^2</math>}}
{{démonstration | contenu =
: <math>\sum_{i=0}^{n - 1} (2 i + 1) = 2 \sum_{i=0}^{n - 1} i + \sum_{i=0}^{n - 1} 1 = 2 \left( \frac{n(n - 1)}{2} \right) + n = n(n - 1) + n = n^2</math>
}}
On peut remarquer que cette somme partielle donne aussi des nombres figurés, que l'on peut représenter par des figures géométriques, comme pour les nombres triangulaires. Sauf que cette fois-ci, le triangle est remplacé par un carré.
[[File:Polygonal Number 4.gif|centre|vignette|upright=2.5|Nombres figurés carrés.]]
===La somme des n premiers nombres de la forme 3n + 1===
[[File:Pentagonal number 22 as sum of gnomons.svg|vignette|Nombres pentagonaux.]]
Maintenant, il est temps de voir la somme partielle de la suite arithmétique de raison 3 et de premier terme 1. Cette série donne aussi des nombres figurés, qui peuvent être représentés par un pentagone. La figure de droite illustre ce point. Cette suite est celle des '''nombres pentagonaux'''.
Cette série est obtenue en additionnant les n premiers nombres de la forme 3n + 1. Voici sa formule :
<math>S_n = \sum_{x=0}^{n} (3x + 1)</math>
La somme est distributive, associative et commutative pour l'addition, ce qui permet de reformuler l'équation précédente en :
<math>S_n = 3 \sum_{x=0}^{n} x + \sum_{x=0}^{n} 1</math>
Le terme de droite vaut, par définition, n :
<math>S_n = 3 \times \sum_{x=0}^{n} x + n</math>
Le terme <math>\sum_{x=0}^{n} x</math> est le énième nombre triangulaire, soit <math>\frac{n(n+1)}{2}</math>.
<math>S_n = 3 \times \frac{n(n+1)}{2} + n</math>
On trouve donc :
<math>u_n = \frac{n(3n - 1)}{2} + n</math>
===Les autres nombres polygonaux===
[[File:Hexagonal number 28 as sum of gnomons.svg|vignette|Nombres hexagonaux.]]
On pourrait poursuivre et parler des nombres hexagonaux et heptagonaux et de bien d'autres. Mais nous n’allons pas le faire, ce qui serait trop répétitif. Tout ce que l'on peut dire, c'est que les suites de nombres de la forme 4n + 1, 5n + 1, 6n + 1 et autres ont des sommes partielles représentables sous la forme de polygones réguliers (pour rappel, les polygones réguliers sont des figures géométriques avec des côtés de même longueur et des angles identiques). La formule des sommes partielles arithmétiques permet de calculer leur valeur assez simplement.
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