« Les suites et séries/Les opérations sur les limites de suites » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
Ligne 173 :
===Produit de deux suites===
Maintenant, étudions la limite du produit de deux suites.
Maintenant, étudions la limite du produit de deux suites. Dans les grandes lignes, si les deux suites convergent, alors leur produit converge lui aussi. Dans le cas contraire, on a droit soit à un résultat indéterminé, soit à une suite divergente. Quand on multiplie deux suites qui divergent, la suite résultat diverge elle aussi. Même chose quand une suite divergente est multipliée avec une suite convergente dont la limite est non-nulle. Mais les problèmes surviennent quand une des deux suites converge vers zéro. Dans ce cas, on ne sait pas si c'est le zéro ou l'infini qui l'emporte. Le résultat est alors ce qu'on appelle une forme indéterminée. Nous reparlerons de ces formes indéterminée plus bas, mais pour résumer : la suite peut converger ou diverger suivant le cas étudié. Le résultat exact peut se calculer, mais cela demande de reformuler le quotient d'une manière ou d'une autre.▼
Si les deux suites convergent, alors leur produit converge lui aussi.
{{démonstration|contenu =
On veut prouver que :
: <math>\lim_{n \rightarrow \infty} (u_n \cdot v_n) = (\lim_{n \rightarrow \infty} u_n) \cdot (\lim_{n \rightarrow \infty} v_n)</math>
Dit autrement, on veut prouver qu'il existe un rang N tel que :
: <math>|u_n \cdot v_n - L_1 \cdot L_2| < \epsilon</math>, avec <math>L_1</math> la limite de <math>u_n</math> et <math>L_2</math> la limite de <math>v_n</math>.
Le terme de gauche peut se reformuler comme suit :
: <math>|u_n \cdot v_n - L_1 \cdot L_2| = |L_2| \cdot |u_n - L_1| + |u_n| \cdot |v_n - L_2|</math>
On peut alors choisir le rang N tel que <math>|u_n - L_1| < \frac{\epsilon}{2 \cdot |T| + 1}</math> et <math>|v_n - L_2| < \frac{\epsilon}{2 \cdot |u_n| + 1}</math>. En combinant cela avec la formule précédente, on a alors :
: <math>|u_n \cdot v_n - L_1 \cdot L_2| < L_2 \cdot \frac{\epsilon}{2 \cdot |T| + 1} + |u_n| \cdot \frac{\epsilon}{2 \cdot |u_n| + 1}</math>
Par définition, on a <math>|u_n| \cdot \frac{\epsilon}{2 \cdot |u_n| + 1} < \frac{\epsilon}{2}</math> et <math>L_2 \cdot \frac{\epsilon}{2 \cdot |T| + 1} < \frac{\epsilon}{2}</math>, ce qui donne :
: <math>|u_n \cdot v_n - L_1 \cdot L_2| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}</math>
Ce qui se simplifie en :
: <math>|u_n \cdot v_n - L_1 \cdot L_2| < \epsilon</math>
Cette expression n'est autre que la définition <math>\lim_{n \rightarrow \infty} (u_n \cdot v_n) = (\lim_{n \rightarrow \infty} u_n) \cdot (\lim_{n \rightarrow \infty} v_n)</math>.}}
▲
{|class="wikitable" style="text-align: center"
| |||