« Les suites et séries/Les opérations sur les limites de suites » : différence entre les versions
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Le cas le plus simple est de loin l'addition de deux suites convergentes <math>(a_n)</math> et <math>(b_n)</math> qui convergent respectivement vers <math>a</math> et <math>b</math>. Leur somme <math>(a_n + b_n)</math> converge vers <math>a + b</math> : la limite d'une somme est égale à la somme des limites
{{démonstration|contenu =
Prenons deux suites convergentes <math>u_n</math> et <math>v_n</math>. Nous voulons prouver que :
: <math>\lim_{n \rightarrow \infty} (v_n + u_n) = \lim_{n \rightarrow \infty} v_n + \lim_{n \rightarrow \infty} u_n</math>
Notons <math>L_1</math> la limite de la suite <math>v_n</math> et <math>L_2</math> la limite de la suite <math>u_n</math>. Pour prouver l'égalité plus haut, il faut trouver un rang <math>N</math> tel que :
: <math>|(v_n + u_n) - (L_1 + L_2)| < \epsilon</math>
Du fait de l'inégalité triangulaire, on a :
: <math>|(v_n + u_n) - (L_1 + L_2)| < |v_n - L_1| + |u_n - L_2|</math>
Vu que les deux suites convergent, on peut toujours trouver un rang tel que <math>|v_n - L_1| < \frac{\epsilon}{2}</math> et <math>|u_n - L_2| < \frac{\epsilon}{2}</math>. On a alors :
: <math>|(v_n + u_n) - (L_1 + L_2)| < |v_n - L_1| + |u_n - L_2| < \frac{\epsilon}{2}</math> + \frac{\epsilon}{2}</math></math>
Ce qui se réécrit, après quelques simplifications :
: <math>|(v_n + u_n) - (L_1 + L_2)| < \epsilon</math>
Cette inégalité n'est autre que la définition du fait que <math>(v_n + u_n)</math> converge vers <math>L_1 + L_2</math>.}}
Ce principe est cependant remis en question quand une des deux suites <math>(a_n)</math> et <math>(b_n)</math> diverge : la somme des suites va elle aussi diverger. Dans le cas où une des suites <math>(a_n)</math> et <math>(b_n)</math> n'a pas de limite, alors la somme <math>(a_n + b_n)</math> ne peut pas avoir de limite. Le cas le plus simple à étudier est celui où la suite divergente tend vers <math>+ \infty</math> ou <math>- \infty</math>. Dans ce cas, la suite diverge aussi vers <math>\infty</math>, à une exception près : celui où une des suite tend vers <math>+ \infty</math> et l'autre vers <math>- \infty</math>. Dans ce dernier cas, on ne sait pas si les deux infinis se compensent (donnant un zéro), ou si l'un des deux infini l'emporte sur l'autre. Le résultat de la somme ne peut donc pas être connu avec certitude, tout du moins sans techniques particulières : c'est une forme indéterminée.
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