« Les suites et séries/Les opérations sur les limites de suites » : différence entre les versions
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* Si <math>(a_n) \geq (b_n)</math>, alors <math>\lim_{n \to \infty} (a_n) \geq \lim_{n \to \infty} (b_n)</math>.
Ces trois relations peuvent se
{{démonstration | contenu =
Notons <math>l_a</math> et <math>l_b</math> les limites respectives <math>\lim_{n \to \infty} (a_n)</math> et <math>\lim_{n \to \infty} (b_n)</math>. On pose aussi <math>\epsilon > 0</math>. Vu que <math>(a_n)</math> converge vers <math>l_a</math>, alors il existe un rang <math>N_a</math> au-delà duquel on a : <math>l_a + \epsilon > a_n > l_a - \epsilon</math>. Même chose pour la suite <math>(b_n)</math>, où on a un rang <math>N_b</math> au-delà duquel <math>l_b + \epsilon > b_n > l_b - \epsilon</math>. Dans ce qui va suivre, nous allons seulement utiliser les inégalités suivantes :
: <math>l_a + \epsilon > a_n</math>, pour <math>N_a < n</math>.
: <math>l_b + \epsilon > b_n</math>, pour <math>N_b < n</math>.
Si on suppose que <math>a_n < b_n</math>, on a :
: <math>a_n + \epsilon < b_n + \epsilon</math>
En combinant les trois inégalités précédentes, on trouve :
: <math>l_a < a_n + \epsilon < b_n + \epsilon < l_b + 2 \cdot \epsilon</math>
En simplifiant, on trouve que :
: <math>l_a < l_b + 2 \cdot \epsilon</math>
On a alors : <math>l_a \leq l_b</math>.
On voit que le passage d'une inégalité stricte à une inégalité non-stricte se fait dans la toute dernière étape, et est lié à <math>\epsilon</math>.}}
===Le passage à la limite des inégalités strictes entre suites===
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