« Cosmologie/Les équations de Friedmann pour un univers plat et sans constante cosmologique » : différence entre les versions

Contenu supprimé Contenu ajouté
mAucun résumé des modifications
Ligne 28 :
 
: <math>\frac{\rho'}{\rho} = - 3 H (1 + w)</math>
 
La résolution de cette équation nousdifférentielle donne :
 
: <math>a = a_0 \cdot t^\frac{2}{3(1 + w)}</math>
 
Vous remarquerremarquerez que le facteur d'échelle suit une loi de puissance, ce qui fait qu'on peut utiliser les formules du chapitre "Une introduction aux modèles cosmologiques". On trouve donc les résultats suivants :
 
: <math>H = \frac{2}{3(1 + w)} \cdot \frac{1}{t}</math>
 
: <math>t = \frac{2}{3(1 + w)} \cdot T_H</math>
 
: <math>R_H = \frac{3(1 + w)}{2} \cdot c \cdot t</math>
 
: <math>r(t) = \frac{c \cdot t}{1 - \frac{2}{3(1 + w)}} = c \cdot t \cdot \frac{3(1 + w)}{3(1 + w) - 2}</math>
 
: <math>q = \frac{3(1 + w)}{2} - 1 = \frac{3}{2} w + \frac{1}{2} </math>
 
La dernière formule est la plus intéressante. Elle nous dit en effet sous quelles condition l'expansion ralentit, accélère ou reste stable. Pour cela, calculons la valeur de <math>w</math> pour laquelle <math>q=0</math>. On a donc :
 
: <math>0 = \frac{3}{2} w + \frac{1}{2} </math>
 
On trouve alors que :
 
: <math>w = - \frac{1}{3}</math>
 
En étudiant un petit peu la relation <math>q = f(w)</math>, on en déduit le tableau suivant.
 
{|class="wikitable"
|-
! <math>w < - \frac{1}{3}</math>
! <math>w = - \frac{1}{3}</math>
! <math>w > - \frac{1}{3}</math>
|-
| L'expansion accélère
| L'expansion est stable
| L'expansion ralentit
|}
 
===La seconde équation de Friedmann===
Ligne 347 ⟶ 384 :
 
Le paramètre de décélération étant positif, on en déduit que l'expansion de l'univers ralentit progressivement avec le temps.
 
==Le modèle cosmologique : cas général==
 
Pour finir, nous allons étudier le cas général où on ne donne pas de valeur particulière pour <math>w</math>. On doit alors repartir de l'équation suivante :
 
: <math>\frac{\rho'}{\rho} = 3 H (1 + w)</math>
 
La résolution de cette équation nous donne :
 
: <math>a = a_0 \cdot t^\frac{2}{3(1 + w)}</math>
 
Vous remarquer que le facteur d'échelle suit une loi de puissance, ce qui fait qu'on peut utiliser les formules du chapitre "Une introduction aux modèles cosmologiques". On trouve donc les résultats suivants :
 
: <math>H = \frac{2}{3(1 + w)} \cdot \frac{1}{t}</math>
 
: <math>t = \frac{2}{3(1 + w)} \cdot T_H</math>
 
: <math>R_H = \frac{3(1 + w)}{2} \cdot c \cdot t</math>
 
: <math>r(t) = \frac{c \cdot t}{1 - \frac{2}{3(1 + w)}} = c \cdot t \cdot \frac{3(1 + w)}{3(1 + w) - 2}</math>
 
: <math>q = \frac{3(1 + w)}{2} - 1 = \frac{3}{2} w + \frac{1}{2} </math>
 
===Le facteur de décélération===
 
La dernière formule est la plus intéressante. Elle nous dit en effet sous quelles condition l'expansion ralentit, accélère ou reste stable. Pour cela, calculons la valeur de <math>w</math> pour laquelle <math>q=0</math>. On a donc :
 
: <math>0 = \frac{3}{2} w + \frac{1}{2} </math>
 
On trouve alors que :
 
: <math>w = - \frac{1}{3}</math>
 
En étudiant un petit peu la relation <math>q = f(w)</math>, on en déduit le tableau suivant.
 
{|class="wikitable"
|-
! <math>w < - \frac{1}{3}</math>
! <math>w = - \frac{1}{3}</math>
! <math>w > - \frac{1}{3}</math>
|-
| L'expansion accélère
| L'expansion est stable
| L'expansion ralentit
|}
 
On retrouve le résultat obtenu plus haut, lors de l'étude de la seconde équation de Friedmann.
 
<noinclude>