« Cosmologie/Les équations de Friedmann pour un univers plat et sans constante cosmologique » : différence entre les versions

Contenu supprimé Contenu ajouté
Ligne 149 :
 
{{démonstration | contenu =
Pour simplifier les calculs, nous allons utiliser une forme alternative de l'équation <math>a(t) = a(t_0) \cdot \left(\frac{t}{t_0} \right)^\frac{2}{3}</math>. Sachant que <math>a(t_0)</math> et <math>t_0)</math> sont des constantes, on peut reformuler cette équation comme suit :
 
Partons de la loi de puissance démontrée plus haut :
 
: <math>a(t) = a_0 \left(\frac{t}{t_0} \right)^\frac{2}{3}</math>
 
Vu que les termes <math>a_0</math> et <math>t_0</math> sont des constantes (des constantes d'intégration, plus précisément), on peut les simplifier en une seule constante que nous noterons A. Cela donne l'équation suivante :
 
: <math>a(t) \propto t^{\frac{2}{3}}</math>
 
Prenons sa dérivée première :
De cette équation, on peut obtenir les dérivées première et seconde (respectivement la vitesse et l'accélération de l'expansion) :
 
: <math>a(t)' = \frac{2}{3} \frac{a(t)}{t} \propto t^{- \frac{1}{3}}</math>
 
: <math>a(t)'' = \frac{1}{3} \frac{a(t)'}{t} \propto t^{- \frac{4}{3}}</math>
 
En combinant le facteur d'échelle et sa dérivée, on retrouve le facteur de Hubble. Partons de la définition du facteur de Hubble :
 
: <math>H = \frac{a(t)'}{a(t)}</math>
 
Injectons l'équation <math>a(t)' = \frac{2}{3} \frac{a(t)}{t}</math> obtenue plus haut.
 
: <math>Ha(t)' = \left( \frac{2}{3} t^{- \frac{a(t)1}{t3}} \right)= \frac{12}{3} \frac{a(t)}{t}</math>
 
On injecte les deux équations précédentes dans la formule <math>H = \frac{a(t)'}{a(t)}</math> :
Simplifions :
 
: <math>H = \left( \frac{2}{3} \frac{a(t)}{t} \right) \frac{1}{a(t)} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{t}</math>}}
 
===Le calcul de l'âge de l’univers===