« 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ » : différence entre les versions
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'''1 + 2 + 3 + 4 + ⋯''', la '''[[w:Série (mathématiques)|série]] des [[w:entier naturel|entiers strictement positifs]]''' pris dans l'ordre croissant, est en [[w:Analyse (mathématiques)|analyse]] une [[w:série divergente|série divergente]].
La ''n''-ième [[w:Série (mathématiques)|somme partielle de cette série]] est le [[w:nombre triangulaire|nombre triangulaire]] :
:<math>\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}</math>.
La [[w:Suite (mathématiques)|suite]] de ces sommes partielles est [[w:Suite monotone|croissante]] et [[w:Suite bornée|non majorée]] donc [[w:Théorème de la limite monotone|tend vers l'infini|]].
Bien que cette série ne possède donc ''a priori'' pas de valeur significative, elle peut être manipulée pour produire un certain nombre de résultats mathématiquement intéressants, dont certains ont des applications dans d'autres domaines, comme l'[[w:analyse complexe|analyse complexe]], la [[w:théorie quantique des champs|théorie quantique des champs]], la [[w:théorie des cordes|théorie des cordes]] ou encore l'[[w:effet Casimir|effet Casimir]].
== Définition ==
La série a pour terme général {{mvar|n}}. Sa ''n''-ième somme partielle est donc le [[w:nombre triangulaire|nombre triangulaire]] {{math|''S{{ind|n}}'' {{=}} 1 + 2 + … + ''n''}}, [[w:Somme (arithmétique)#Somme des premiers entiers|égal à {{math|''n''(''n'' + 1)/2}}]]. La suite {{math|(''S{{ind|n}}'')}} [[w:Limite d'une suite|tend vers|]] l'[[w:infini|infini]] : la série n'est donc pas [[w:Série convergente|convergente]]. Elle ne possède donc pas de somme au sens usuel du terme. Elle n'est pas non plus [[w:Sommation de Cesàro|sommable au sens de Cesàro|]].
À la différence de son homologue la [[w:série alternée des entiers|série alternée des entiers]] {{math|1 – 2 + 3 – 4 + …}}, la série {{math|1 + 2 + 3 + 4 + …}} n'est pas [[w:Série divergente#Sommation d'Abel|sommable au sens d'Abel]] et des méthodes plus avancées sont nécessaires pour lui attribuer la valeur {{math|–1/12}}{{sfn|Hardy|1949|p=333}}{{infra|Sommabilité}}.
== Sommabilité ==
===[[w:Heuristique (mathématiques)|Heuristique]]===
==== Cahier de Ramanujan ====
[[Image:Ramanujan Notebook 1 Chapter 8 on 1234 series.jpg|vignette|upright=2|Passage du premier cahier de Ramanujan<ref name="ramanujan" />.]]
[[w:Srinivasa Ramanujan|Srinivasa Ramanujan]] présente deux démonstrations de « 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = −1/12 » au chapitre 8 de son [[w:cahiers de Ramanujan|premier cahier]]<ref name="ramanujan" />{{,}}<ref name="abdi" />{{,}}<ref name="berndt" />. La démonstration la plus simple n'est pas rigoureuse, mais permet néanmoins d'obtenir une idée de la sommation à obtenir.
Quelle que soit la « somme » de la série, appelons-la {{nobr|1=''c'' = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯}}. En faisant abstraction des contraintes sur les opérations de séries infinies, multiplions-la par 4 et soustrayons le résultat :
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</math>
La tâche est alors de sommer la [[w:série alternée des entiers|série alternée des entiers]], ce qui est plus simple car bien qu'elle soit [[w:Série divergente|divergente]], elle ressemble néanmoins au développement en [[w:série entière|série entière]] de la fonction 1/(1 + ''x'')<sup>2</sup> pour ''x'' = 1, soit :
:<math>-3c=1-2+3-4+\cdots=\frac{1}{(1+1)^2}=\frac14</math>
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En divisant les deux côtés par −3, on obtient <math>c=-\frac{1}{12}</math>.
La [[w:sommation de Ramanujan|sommation de Ramanujan]] de {{nobr|1 + 2 + 3 + 4 + ⋯}} donne également −1/12.
==== Autre approche ====
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Soient ''A'', ''B'', ''S'' trois sommes distinctes, avec ''S'' la somme des entiers naturels (celle qui est recherchée), telles que :
* <math>A = 1-1+1-1+1-...</math> ([[w:série de Grandi|série de Grandi]])
* <math>B = 1-2+3-4+5-...</math> ([[w:série alternée des entiers|série alternée des entiers]])
* <math>S = 1+2+3+4+5+...</math>
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=== Régularisation zêta ===
La série peut être sommée par [[w:régularisation zêta|régularisation zêta]]. Lorsque la partie réelle de ''s'' est supérieure à 1, la [[w:fonction zêta de Riemann|fonction zêta de Riemann]] ''ζ''(''s'') est égale à la somme <math>\sum_{n=1}^\infty {n^{-s}}</math>. Cette somme diverge lorsque la partie réelle de ''s'' est inférieure ou égale à 1 ; en particulier, la série {{nobr|1 + 2 + 3 + 4 + ⋯}} qui résulte de ''s'' = –1 ne converge pas au sens ordinaire. En revanche, en étendant ''ζ'' par [[w:prolongement analytique|prolongement analytique]], on trouve <math>\zeta(-1)=- \frac{1}{12}</math>.
Une façon de calculer ''ζ''(−1) est d'utiliser la relation entre la fonction zêta de Riemann et la [[w:fonction êta de Dirichlet|fonction êta de Dirichlet]]. Lorsque les deux [[w:Série de Dirichlet|séries de Dirichlet]] convergent, on a les identités :
:<math>
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=== Limites des méthodes de sommation linéaires stables ===
De nombreuses méthodes de sommations présentées dans l'article [[w:Série divergente|Série divergente]] se basent sur les trois propriétés de [[w:Série divergente#Méthodes de sommation|stabilité, linéarité et régularité|]].
Or, il ne peut pas exister de méthode à la fois régulière, stable et linéaire qui soit définie pour la somme des entiers naturels<ref>{{Lien web|langue=français|titre=1+2+3+4+5+... = -1/12 ??? Infini 5|url=https://www.youtube.com/watch?v=vMnkmBCvGQc|site=youtube.com|date=12 septembre 2016|consulté le=24 mai 2017}}</ref>{{,}}<ref>La somme ne peut être calculée avec une méthode à la fois stable et linéaire car {{math|(1+2+3+⋯) - 2*(0+1+2+⋯) + (0+0+1+2+⋯) {{=}} 1+0+0+0+⋯ {{=}} 1}} mais on a aussi {{math|(1+2+3+⋯) - 2*(0+1+2+⋯) + (0+0+1+2+⋯) {{=}} (1+2+3+⋯) -2*(1+2+3+⋯) + (1+2+3+⋯) {{=}} 0}} donc {{math|1 {{=}} 0}}</ref>. Par conséquent, aucune des méthodes utilisées ci-avant dans l'article pour sommer la série {{math|1 + 2 + 3 + ⋯}} ne peut respecter simultanément ces trois propriétés.
== Physique ==
En [[w:théorie des cordes bosoniques|théorie des cordes bosoniques]], on tente de calculer les niveaux d'énergie possible d'une corde, tout particulièrement le niveau d'énergie minimal. De manière informelle, chaque harmonique d'une corde peut être perçue comme une collection de {{math|''D'' – 2}} [[w:Oscillateur harmonique quantique|oscillateurs harmoniques quantiques]] indépendants, un pour chaque direction transverse, où {{math|''D''}} est le nombre de dimensions de l'espace-temps. Si la fréquence fondamentale d'oscillation est <math>\omega</math>, alors l'énergie d'un oscillateur contribuant à la ''n''-ième harmonique est <math>n\hbar\omega/2</math>. En utilisant la série divergente, la somme de toutes les harmoniques est <math>-\hbar\omega (D-2)/24</math>. Au bout du compte, c'est ce fait, combiné au {{Lien|langue=en|trad=Goddard–Thorn theorem|fr=théorème de Goddard-Thorn}}, qui conduit la théorie des cordes bosoniques à n'être cohérente qu'en dimension 26{{refsou}}.
Un calcul similaire, faisant usage de la {{Lien|langue=en|trad=Real analytic Eisenstein series#Epstein zeta function|fr=Série d'Eisenstein analytique réelle|texte=fonction zêta d'Epstein}} au lieu de la fonction zêta de Riemann, est impliqué dans le calcul de la [[w:Effet Casimir|force Casimir]]<ref name="zeidler" />.
== Notes et références ==
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=== Vulgarisation ===
* [[w:Jean-Pierre Ramis|Jean-Pierre Ramis]], « Les séries divergentes », ''[[w:Pour la Science|Pour la Science]]'', '''350''' (Décembre 2006), 132-139.
* {{article | auteur = Jérôme Buzzi| titre = Liberté et formalisme : 1+2+3+4+5+... = ? | date = 17 février 2014 | périodique = Images des mathématiques | lire en ligne =http://images.math.cnrs.fr/+Liberte-et-formalisme-1-2-3-4-5+ | titre volume = la tribune des mathématiciens}}
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|périodique= Mémoires de l’académie des sciences de Berlin
|numéro =17
|auteur= [[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]]
|date=1768
|lire en ligne= https://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E352.pdf}}
* {{ouvrage
| langue = en
|auteur=[[w:Bruce C. Berndt|Bruce C. Berndt]]
| nom2 = Ramanujan
| prénom2 = Srinivasa A.
|auteur3=[[w:Robert Alexander Rankin|Robert A. Rankin]]
| titre = Ramanujan: Letters and Commentary
| année = 1995
|éditeur=[[w:American Mathematical Society|AMS]]
|isbn=978-0-82189125-4
|url={{Google Livres|Of5G0r6DQiEC|page=53}}
Ligne 187 :
| éditeur = Clarendon Press
}}
* {{Article|auteur=[[w:Jean-Pierre Ramis|Jean-Pierre Ramis]]|url=http://smf4.emath.fr/en/Publications/Gazette/2012/133/smf_gazette_133_33-72.pdf|titre=Poincaré et les développements asymptotiques (Première partie)|revue=[[w:Gazette des mathématiciens|SMF, Gazette]]|vol=133|mois=7|année=2012|format=pdf}}
* {{Article|auteur=[[w:Jean-Pierre Ramis|Jean-Pierre Ramis]]|url=http://smf4.emath.fr/en/Publications/Gazette/2012/134/smf_gazette_134_17-36.pdf|titre=Les développements asymptotiques après Poincaré : continuité et… divergences (Deuxième partie)|revue=SMF, Gazette|vol=134|mois=10|année=2012|format=pdf}}
* {{Chapitre
| langue = en
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* {{ouvrage
| langue = en
|auteur=[[w:Anthony Zee|A. Zee]]
|titre={{Lien|langue=en|fr=Quantum Field Theory in a Nutshell}}
| année = 2003
|éditeur=[[w:Princeton University Press|Princeton UP]]
| isbn = 978-0-6911-4034-6
| passage = 65-66
Ligne 214 :
| titre = A First Course in String Theory
| année = 2004
|éditeur=[[w:Cambridge University Press|Cambridge UP]]
| isbn = 9780521831437
| passage = 293
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=== Articles connexes ===
* [[w:Série de Grandi|Série de Grandi]] (1 − 1 + 1 − 1 ... = 1/2)
* [[w:Série alternée des entiers|Série alternée des entiers]] (1 − 2 + 3 − 4 ... = 1/4)
=== Liens externes ===
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* [http://math.ucr.edu/home/baez/week124.html This Week's Finds in Mathematical Physics (Week 124)], [http://math.ucr.edu/home/baez/week126.html (Week 126)], [http://math.ucr.edu/home/baez/week147.html (Week 147)]
**[http://math.ucr.edu/home/baez/qg-winter2004/zeta.pdf Euler’s Proof That 1 + 2 + 3 + · · · = −1/12]
**{{lien web|url=http://math.ucr.edu/home/baez/numbers/24.pdf|titre=My Favorite Numbers: 24|auteur=[[w:John Baez|John Baez]]|date=19 septembre 2008}}
{{portail|analyse}}
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