« 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ » : différence entre les versions
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Une autre approche, là encore non-rigoureuse, permet de se faire simplement une idée d'une valeur possible pour la série. Elle consiste entre autres à abandonner les contraintes de stabilité des méthodes de sommation, ainsi que celles sur les opérations terme à terme entre deux séries.
Soient
* <math>A = 1-1+1-1+1-...</math> ([[série de Grandi]])
* <math>B = 1-2+3-4+5-...</math> ([[série alternée des entiers]])
* <math>S = 1+2+3+4+5+...</math>
;Détermination de ''A'' :
Par définition :
On remarque qu'en réorganisant les termes de la somme
▲Par définition : <math>A = 1-1+1-1+1-...</math>.
▲On remarque que <math>A = 1-1+1-1+1-... = 1-(1-1+1-1+1-...)</math>, soit <math>A = 1 - A</math>.
Donc <math>A + A = 1 </math> i.e. <math> 2A = 1 </math> ainsi <math> A=\frac{1}{2}</math>.
;Détermination de ''B'' :
Par définition :
▲Par définition : <math>B = 1-2+3-4+5-6+7-...</math>.
On remarque qu'en faisant la différence terme à terme, on a :
Donc <math>2B=A </math> i.e. <math> 2B=\frac{1}{2} </math> ainsi <math> B=\frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}</math>.▼
:<math>
\begin{align}
B - A & = & 1 & -2 & +3 & -4 & +5 & -6 &...& \\
& & -1 & +1 & -1 & +1 & -1 & +1 & ... & \\
& = & 0 & -1 & +2 & -3 & +4 & -5 & ... &= -B
\end{align}</math>
▲Donc <math>2B=A
;Détermination de ''S'' :
Par définition :
:<math>S = 1+2+3+4+5+...</math>. On remarque qu'en faisant la différence terme à terme :
:<math>
\begin{align}
S - B & = & 1 & +2 & +3 & +4 & +5 & +6 &...& \\
& & -1 & +2 & -3 & +4 & -5 & +6 & ... & \\
& = & 0 & +4 & +0 & +8 & +0 & +12 & ... &= 4 (1+2+3+...)=4S
\end{align}</math>
Donc <math>S-4S=B </math> i.e. <math> -3S=B </math> d’où <math> S=-\frac{B}{3}=-\frac{\frac{1}{4}}{3}</math>
Ainsi, on retrouve le résultat attendu :
=== Régularisation zêta ===
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