Je ne comprends pas du tout le lien entre cette citation et la sommation de Ramanujan qui est une formule générale. Citation d'ailleurs très obscure, qui embrouille plutôt qu'elle apporte une information (laquelle ?)
En divisant les deux côtés par −3, on obtient <math>c=-\frac{1}{12}</math>.
La [[sommation de Ramanujan]] de {{nobr|1 + 2 + 3 + 4 + ⋯}} estdonne également −1/12. Dans la seconde lettre de Ramanujan à [[Godfrey Harold Hardy]], datée du 27 février 1913, il écrit :▼
==== Autre approche ====
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L'identité <math>(1-2^{1-s})\zeta(s)=\eta(s)</math> reste valable lorsque les deux fonctions sont étendues par prolongement analytique pour inclure les valeurs de ''s'' où les séries divergent. En substituant <math>s=-1</math>, on obtient <math>-3\zeta(-1)=\eta(-1)=\frac14</math> et donc <math>\zeta(-1)=-\frac{1}{12}</math>.
=== Sommation de Ramanujan ===
▲La [[sommation de Ramanujan]] de {{nobr|1 + 2 + 3 + 4 + ⋯}} est également −1/12. Dans la seconde lettre de Ramanujan à [[Godfrey Harold Hardy]], datée du 27 février 1913, il écrit :
:{{Citation étrangère|langue=en|Dear Sir, I am very much gratified on perusing your letter of the 8th February 1913. I was expecting a reply from you similar to the one which a Mathematics Professor at London wrote asking me to study carefully [[Thomas John I'Anson Bromwich|Bromwich]]'s ''Infinite Series'' and not fall into the pitfalls of divergent series. … I told him that the sum of an infinite number of terms of the series: {{nobr|1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ {{=}} −1/12}} under my theory. If I tell you this you will at once point out to me the lunatic asylum as my goal. I dilate on this simply to convince you that you will not be able to follow my methods of proof if I indicate the lines on which I proceed in a single letter.}}{{sfn|Berndt|Ramanujan|Rankin|1995|p=53}}
soit en français :
:{{Citation|Monsieur, je suis très heureux de lire attentivement votre lettre du 8 février 1913. J'attendais une réponse de vous semblable à celle qu'un professeur de mathématiques à Londres écrivit, m'invitant à étudier soigneusement les ''Séries Infinies'' de [[Thomas John I'Anson Bromwich]] et à ne pas tomber dans les pièges des séries divergentes. […] Je lui ai dit que la somme d'un nombre infini de termes de la série {{nobr|1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ {{=}} −1/12}} d'après ma théorie. Si je vous dis cela, vous me direz tout de suite que je suis bon pour l'asile de fous. Je m'étends sur ce sujet simplement pour vous convaincre que vous ne pourrez pas suivre mes méthodes de preuve si je vous indique les lignes sur lesquelles je procède en une seule lettre.}}
Le roman de [[David Leavitt]] ''{{lien|The Indian Clerk}}'' inclut une scène où Hardy et [[John Edensor Littlewood|Littlewood]] discutent du sens de ce passage<ref name="leavitt" />.
=== Limites des méthodes de sommation linéaires stables ===
