« 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ » : différence entre les versions

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== Définition ==
La série a pour terme général <math>n</math>. Sa ''n''-ième somme partielle est donc le [[nombre triangulaire]] <math>S_n =1 + 2 + \ldots + n</math>, [[Somme (arithmétique)#Somme des premiers entiers|égal à {{math|''n''(''n'' + 1)/2}}]]. La suite <math>(S_n)</math> [[Limite d'une suite|tend vers]] l'[[infini]] : la série n'est donc pas [[Série convergente|convergente]]. Elle ne possède donc pas de somme au sens usuel du terme. Elle n'est pas non plus [[Sommation de Cesàro|sommable au sens de Cesàro]].
 
À la différence de son homologue la [[série alternée des entiers]] {{math|1 – 2 + 3 – 4 + …}}, la série {{math|1 + 2 + 3 + 4 + …}} n'est pas [[Série divergente#Sommation d'Abel|sommable au sens d'Abel]] et des méthodes plus avancées sont nécessaires pour lui attribuer une valeur. La valeur qu'on lui donne est {{math|–1/12}}{{sfn|Hardy|1949|p=333}}{{infra|Sommabilité}}.
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==== Carnet de Ramanujan ====
[[Image:Ramanujan Notebook 1 Chapter 8 on 1234 series.jpg|thumbvignette|upright=2|Passage du premier carnet de Ramanujan<ref name="ramanujan" />.]]
[[Srinivasa Ramanujan]] présente deux démonstrations de « 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = −1/12 » au chapitre 8 de son premier carnet<ref name="ramanujan" />{{,}}<ref name="abdi" />{{,}}<ref name="berndt" />. La démonstration la plus simple n'est pas rigoureuse, mais permet néanmoins d'obtenir une idée de la sommation à obtenir.
 
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Soient <math>A, B, S</math> trois sommes distinctes, avec <math>S</math> la somme des entiers naturels, telles que :
* <math>A = 1-1+1-1+1-...</math>
* <math>B = 1-2+3-4+5-...</math>
* <math>S = 1+2+3+4+5+...</math>
 
 
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== Physique ==
En [[théorie des cordes bosoniques]], on tente de calculer les niveaux d'énergie possible d'une corde, tout particulièrement le niveau d'énergie minimal. De manière informelle, chaque harmonique d'une corde peut être perçue comme une collection de {{math|''D'' – 2}} [[Oscillateur harmonique quantique|oscillateurs harmoniques quantiques]] indépendants, un pour chaque direction transverse, où {{math|''D''}} est le nombre de dimensions de l'espace-temps. Si la fréquence fondamentale d'oscillation est <math>\omega</math>, alors l'énergie d'un oscillateur contribuant à la ''n''-ième harmonique est <math>n\hbar\omega/2</math>. En utilisant la série divergente, la somme de toutes les harmoniques est <math>-\hbar\omega (D-2)/24</math>. Au bout du compte, c'est ce fait, combiné au {{lienLien|langue=en|trad=Goddard–Thorn theorem|fr=théorème de Goddard-Thorn|trad=Goddard–Thorn theorem}}, qui conduit la théorie des cordes bosoniques à n'être cohérente qu'en dimension 26.
 
Un calcul similaire, faisant usage de la {{lienLien|frlangue=Série d'Eisenstein analytique réelleen|trad=Real analytic Eisenstein series#Epstein zeta function|fr=Série d'Eisenstein analytique réelle|texte=fonction zêta d'Epstein}} au lieu de la fonction zêta de Riemann, est impliqué dans le calcul de la [[Effet Casimir|force Casimir]]<ref name="zeidler" />.
 
== Notes et références ==
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* {{ouvrage
| langue = en
|auteur={{Lien|[[Bruce C. Berndt}}]]
| nom2 = Ramanujan
| prénom2 = Srinivasa A.
|auteur3={{Lien|langue=en|fr=Robert Alexander Rankin|texte=Robert A. Rankin}}
| titre = Ramanujan: Letters and Commentary
| année = 1995
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* {{Chapitre
| langue = en
|auteur={{Lien|langue=en|fr=James Lepowsky}}
| titre = Vertex operator algebras and the zeta function
|titre ouvrage=Recent Developments in Quantum Affine Algebras and Related Topics
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* {{ouvrage
| langue = en
|auteur={{Lien|[[Anthony Zee|texte=A. Zee}}]]
|titre={{lienLien|langue=en|fr=Quantum Field Theory in a Nutshell}}
| année = 2003
|éditeur=[[Princeton University Press|Princeton UP]]
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* {{ouvrage
| langue = en
|auteur={{Lien|langue=en|fr=Barton Zwiebach}}
| titre = A First Course in String Theory
| année = 2004