« 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ » : différence entre les versions

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→‎Définition : il y a un singulier qui se rapporte à un pluriel
→‎Limites des méthodes de sommation linéaires stables : ajout d'une source vidéo + contre-exemple explicité en note
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De nombreuses méthodes de sommations présentées dans l'article [[Série divergente]] se basent sur les trois propriétés de [[Série divergente#Propriétés des méthodes de sommation|stabilité, linéarité et régularité]].
 
Or, {{référence nécessaire|date=18 mai 2017 |il ne peut pas exister de méthode à la fois régulière, stable et linéaire qui soit définie pour la somme des entiers naturels<ref>{{Lien web|langue=français|titre=1+2+3+4+5+... = -1/12 ??? Infini 5|url=https://www.youtube.com/watch?v=vMnkmBCvGQc|site=youtube.com|date=12 septembre 2016|consulté le=24 mai 2017}}</ref>{{,}}<ref>La somme ne peut être calculée avec une méthode à la fois stable et linéaire car {{math|(1+2+3+⋯) - 2*(0+1+2+⋯) + (0+0+1+2+⋯) {{=}} 1+0+0+0+⋯ {{=}} 1}} mais on a aussi {{math|(1+2+3+⋯) - 2*(0+1+2+⋯) + (0+0+1+2+⋯) {{=}} (1+2+3+⋯) -2*(1+2+3+⋯) + (1+2+3+⋯) {{=}} 0}} donc {{math|1 {{=}} 0}}</ref>, et aucune des méthodes utilisées ci-avant dans l'article pour sommer la série {{math|1 + 2 + 3 + ⋯}} ne respecte simultanément ces trois propriétés.
== Physique ==
En [[théorie des cordes bosoniques]], on tente de calculer les niveaux d'énergie possible d'une corde, tout particulièrement le niveau d'énergie minimal. De manière informelle, chaque harmonique d'une corde peut être perçue comme une collection de {{math|''D'' – 2}} [[Oscillateur harmonique quantique|oscillateurs harmoniques quantiques]] indépendants, un pour chaque direction transverse, où {{math|''D''}} est le nombre de dimensions de l'espace-temps. Si la fréquence fondamentale d'oscillation est <math>\omega</math>, alors l'énergie d'un oscillateur contribuant à la ''n''-ième harmonique est <math>n\hbar\omega/2</math>. En utilisant la série divergente, la somme de toutes les harmoniques est <math>-\hbar\omega (D-2)/24</math>. Au bout du compte, c'est ce fait, combiné au {{lien|fr=théorème de Goddard-Thorn|trad=Goddard–Thorn theorem}}, qui conduit la théorie des cordes bosoniques à n'être cohérente qu'en dimension 26.