« Cosmologie/Le fluide cosmologique » : différence entre les versions
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Ligne 15 :
Le flux entrant/sortant d'une quantité <math>A</math> se calcule en multipliant la vitesse par un opérateur appelé divergence, qui donne l'intégrale du flux entrant à travers la surface de la particule fluide :
: <math>\operatorname{div} \vec A = \left( \frac{\
Pour résumer, toute équation de la mécanique des fluides prend la forme suivante. Elle décrit une quantité A, entrainée à la vitesse v, et dont une quantité S est produite à chaque instant<math>t</math> :
Ligne 26 :
|Le '''gradient''' est aux vecteurs ce que la dérivée est aux scalaires/fonctions. Dans le cas des nombres, les deux se confondent d'ailleurs.
: <math>\operatorname{grad} \vec A = \nabla \vec A = \left( \frac{\
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|La '''divergence''' est la somme des termes du gradient :
: <math>\operatorname{div} \vec (A) = \nabla \cdot \vec A = \frac{\
On peut remarquer que sa notation <math>\nabla \cdot \vec A </math> explicite bien la nature de la divergence. L'opérateur <math>\nabla</math> n'est autre que l'opérateur gradient, alors que l'opérateur <math>\cdot</math> signifie que l'on fait la somme de tous les termes d'un vecteur. Attention : l'opérateur <math>\cdot</math> se place après le <math>\nabla</math> dans l'écriture, mais il est en réalité appliqué après que le gradient ait été calculé.
Ligne 47 :
|Le '''laplacien''' est tout simplement la divergence du gradient. Ce qui revient à appliquer deux fois l'opérateur gradient, avant d'additionner les termes du vecteur obtenu.
<math>\operatorname{div} ( \operatorname{grad} \vec (A) ) = \nabla^2 \cdot \vec A = \frac{\
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Ligne 122 :
: <math>\frac{\partial \rho}{\partial t} + \rho \operatorname{div} ( H \vec r ) = 0</math>
Appliquons maintenant la définition de la divergence : <math>\operatorname{div} \vec A = \left( \frac{\
<math>\operatorname{div} H \vec r = \left( H \frac{\
On a alors l'équation :
Ligne 154 :
On peut cependant remarquer que l'on peut utiliser des distances, vitesses et volumes comobiles pour résoudre ce problème. Le volume comobile de la particule fluide ne change pas avec l'expansion, pas plus que sa surface comobile ou sa vitesse comobile. Intuitivement, la densité comobile (masse / volume comobile) se comporte comme la densité dans les équations précédentes. Même chose pour les autres grandeurs comobiles. Cependant, les opérateurs divergence et gradient doivent tenir compte du fait qu'on travaille en coordonnées comobiles, ce qui demande de les reformuler. Nous allons donc devoir reformuler les équations de manière à utiliser des coordonnées comobiles <math>x = a \overline{x}</math>. La reformulation du gradient est assez simple :
: <math>\nabla \vec A = \left( \frac{\
La divergence n'est que la somme des termes du gradient, ce qui donne :
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