« Algèbre/Théorie élémentaire des ensembles » : différence entre les versions

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'''Propositions'''
 
#<math>(\forall E, \forall F, \left((E\subset F) \andland (F\subset G)\right))\Rightarrow (E\subset G)</math>.
#<math>(\forall E, \forall F, \left((E\subset F) \andland (F\subset E\right)))\Leftrightarrow (E=F)</math>.
 
 
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::Donc si <math>x \in E</math> alors <math>x \in G</math> d'où <math>E \subset G</math>
 
:: 2. Soient <math>E</math> et <math>F</math> deux ensembles. L'énoncé <math>\left((E\subset F) \andland (F\subset E\right))</math> équivaut à dire que pour tout <math>x</math> on a <math>x\in E \Leftrightarrow x\in F</math>. Finalement la propriété annoncée est une reformulation de l'[[Fondements des mathématiques/Les axiomes des théories des ensembles|axiome d'extensionalité]].
 
 
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Nous appelons '''intersection''' de deux ensembles quelconques ''E'' et ''F'', l'ensemble des ''x'' qui appartiennent à la fois à ''E'' et ''F''. Cet ensemble se note <math>E\cap F</math>, et nous avons
:<math>E\cap F=\{x/(x\in E)\andland (x\in F)\}</math>.
<math>E\cap F</math> se lit «&nbsp;''E'' inter ''F''&nbsp;».
 
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Nous appelons '''réunion''' de deux ensembles ''E'' et ''F'' l'ensemble des ''x'' qui appartiennent à ''E'' ou à ''F'' (éventuellement les deux). Cet ensemble se note <math>E\cup F</math> et nous avons
:<math>E\cup F=\{x/(x\in E)\orlor (x\in F)\}</math>.
<math>E\cup F</math> se lit «&nbsp;''E'' union ''F''&nbsp;».
 
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Soient ''E'' et ''F'' deux ensembles quelconques. Nous appelons '''différence''' de ''E'' et ''F'', l'ensemble des ''x'' qui appartiennent à ''E'' mais pas à ''F''. Cet ensemble se note <math>E \backslash F</math> et nous avons
:<math>E\backslash F=\{x/(x\in E) \andland (x\notin F)\}</math>.
<math>E\backslash F</math> se lit «&nbsp;''E'' différence ''F''&nbsp;».
 
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Soient ''E'' et ''F'' deux ensembles quelconques. Nous appelons '''différence symétrique''' de ''E'' et ''F'', l'ensemble des ''x'' qui appartiennent à ''E'' ou à ''F'' mais pas au deux à la fois. Cet ensemble se note <math>E \Delta F</math> et nous avons
:<math>E\Delta F=\{x/\left((x\in E)\andland (x\notin F)\right)\orlor \left((x\in F)\andland (x\notin E)\right) \}=(E\cup F)\backslash (E\cap F)</math>.
<math>E\Delta F</math> se lit «&nbsp;''E'' delta ''F''&nbsp;».
 
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Formellement, le couple <math>(x,y)</math> peut être défini ainsi : si <math>x</math> et <math>y</math> sont deux objets, alors <math>(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}</math>.
Cette définition assure en particulier que <math>(a,b)=(c,d) \Leftrightarrow (a=c \,\andland\, b=d)</math>.
 
''Remarque :''