« Les suites et séries/Les opérations sur les limites de suites » : différence entre les versions

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Il est intéressant de regarder quelle est la limite d'une somme de deux suites, ou de leur produit. Dans une telle condition, on peut dire si la limite de la somme converge ou diverge selon le comportement des deux suites. Les résultats sont donnés pour des suites divergentes et convergentes notées <math>u_n</math> et <math>v_n</math>.
 
Pour les suites qui convergent, le résultat est plutôt simple. Si je prends deux suites <math>(a_n)</math> et <math>(b_n)</math> qui convergent respectivement vers <math>a</math> et <math>b</math>, alors leur somme converge vers <math>a + b</math>. Leur produit fait de même et converge vers <math>a \times b</math>, leur quotient vers <math>a \over b</math>, leur différence vers <math>a - b</math>. Pour résumer, la limite de la somme est la somme des limites, idem pour le produit ou le quotient.
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Le résultat pour les suites divergentes est assez compliqué, mais le résultat diverge dans la plupart des cas, sauf dans quelques cas où le résultat n'est pas connu qui portent le nom de '''formes indéterminées'''. Dans les tableaux qui suivent, ces formes indéterminées seront notées "F.I".
 
==SommeLes derésultats deuxd'opérations sur les suites==
 
Pour commencer, nous allons voir comment se comporte la limite lorsque l'on effectue une opération sur deux suites. Les résultats sont donnés pour des suites divergentes et convergentes notées <math>u_n</math> et <math>v_n</math>.
 
===Somme de deux suites===
 
Additionner deux suites donne des résultats assez différents selon les suites <math>(a_n)</math> et <math>(b_n)</math>. En effet, l'addition de deux suites convergentes ne donnera pas le même résultat que l'addition de deux suites divergentes, ou qu'une suite divergente avec une convergente.
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===Multiplication d'une suite par un réel===
 
Le résultat du produit d'une suite avec un réel est assez trivial à établir. Tout dépend si la suite diverge ou converge :
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===Multiplication de deux suites===
 
{|class="wikitable" style="text-align: center"
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===Quotient de deux suites===
 
{|class="wikitable" style="text-align: center"
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==Les formes indéterminées==
 
Les formes indéterminées surviennent quand on se retrouve à faire certains calculs impossibles en tentant de calculer le produit ou la somme de deux limites. Par exemple, vous pouvez essayer de diviser deux suites qui divergent : vous vous retrouvez à diviser l'infini par lui-même. Le résultat est alors totalement indéterminé et la suite quotient peut aussi bien diverger que converger, sans que le calcul directe ne dise quel est le résultat final ! Voici les sept formes indéterminées possibles :