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« Le noyau atomique/La loi de désintégration radioactive » : différence entre les versions

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Ligne 137 :
: <math>\frac{dN_n}{dt} = - \lambda_n N_n + \lambda_{n-1} N_{n-1}</math>
 
: <math>\frac{dN_{n-1}}{dt} = - \lambda_{i-n-1} N_{n-1} + \lambda_{n-2} N_{n-2}</math>
 
: <math>\frac{dN_{n-2}}{dt} = - \lambda_{i-n-2} N_{n-2} + \lambda_{n-3} N_{n-3}</math>
 
: <math>...</math>
 
IlOn pourrait développer chaque terme, en calculant chaque <math>N_i</math> et en l'injectant dans chaque <math>\lambda_{i} N_{i}</math>, comme nous l'avons fait dans le cas à deux désintégrations. Mais au-delà de 3 à 4 désintégrations successives, les calculs deviennent trop laborieux pour que cela soit faisable. Heureusement, il existe une formule qui permet de trouver formule explicite générale pour <math>N_i</math>, formule découverte par Henri Bateman. Celle-ci, très compliquée, est mentionnée juste par souci de complétude.
 
::<math>N_n(t) = \sum_{i=1}^n \left [ N_i(0) \times \left ( \prod_{j=i}^{n-1} \lambda_j \right ) \times \left ( \sum_{j=i}^n \left ( \frac{e^{-\lambda_j t}}{\prod_{p=i, p\neq j}^n (\lambda_p-\lambda_j)} \right ) \right ) \right ] </math>
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