Différences entre les versions de « Le noyau atomique/La loi de désintégration radioactive »

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===Le cas général (les équations de Bateman)===
 
Le cas général, avec plus de deux désintégrations successives, est plus complexe à étudier. Dans ce qui va suivre, nous allons prendre une chaine de N désintégrations : <math>X_1 \rightarrow X_2 \rightarrow X_3 \rightarrow ... \rightarrow X_i \rightarrow ... \rightarrow X_N</math>. Chaque désintégration est similaire à l'équation du noyau B de la section précédente : la quantité du noya <math>X_i</math> diminue du fait des désintégrations, mais il reçoit des apports des désintégrations du noyau <math>X_{i-1}</math>. Si on note <math>N_i</math> le nombre de noyaux de l'espèce <math>X_i</math>, on a :
 
: <math>\frac{dN_i}{dt} = - \lambda_i N_i + \lambda_{i-1} N_{i-1}</math>
 
: <math>\frac{dN_{i-1}}{dt} = - \lambda_{i-1} N_{i-1} + \lambda_{i-2} N_{i-2}</math>
 
: <math>\frac{dN_{i-2}}{dt} = - \lambda_{i-2} N_{i-2} + \lambda_{i-3} N_{i-3}</math>
 
: <math>...</math>
 
Il existe une formule qui permet de trouver formule explicite générale pour <math>N_i</math>, formule découverte par Henri Bateman. Celle-ci, très compliquée, est mentionnée juste par souci de complétude.
 
::<math>N_n(t) = \sum_{i=1}^n \left [ N_i(0) \times \left ( \prod_{j=i}^{n-1} \lambda_j \right ) \times \left ( \sum_{j=i}^n \left ( \frac{e^{-\lambda_j t}}{\prod_{p=i, p\neq j}^n (\lambda_p-\lambda_j)} \right ) \right ) \right ] </math>
 
==Les branchements radioactifs==
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