« Le noyau atomique/La loi de désintégration radioactive » : différence entre les versions
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[[File:Decroissanceradioactive2.png|centre|vignette|upright=3.0|Attention : l'ordonnée est en unités logarithmiques ! La courbe décroissante est celle du nucléide A, alors que la courbe en forme de U inversé est celle du nucléide B. On voit que sa concentration augmente, avant de redescendre assez rapidement. Rappelons que la courbe de décroissance de A est une droite parce que les unités en ordonnées sont logarithmiques.]]
On voit que <math>N_B</math> augmente avant de diminuer. On peut calculer le temps où <math>N_B</math> atteint sa valeur maximale à partir des équations précédentes. Pour cela, on a juste à trouver le temps t qui annule la dérivée de <math>N_B</math> (la dérivée s'annule quand t est à la valeur maximale). Pour cela, dérivons l'équation précédente, à savoir :
: <math>N_B(t) = N_A^0 \cdot \frac{\lambda_A}{\lambda_A + \lambda_B} \left( e^{- \lambda_A t} - e^{- \lambda_B t} \right)</math>
Sa dérivée vaut :
: <math>\frac{d N_B(t)}{dt} = N_A^0 \cdot \frac{\lambda_A}{\lambda_A + \lambda_B} \frac{d \left( e^{- \lambda_A t} - e^{- \lambda_B t} \right)}{dt}</math>
L'équation précédente ne s'annule que si la dérivée <math>\frac{d \left( e^{- \lambda_A t} - e^{- \lambda_B t} \right)}{dt}</math> s'annule elle aussi. On a donc :
: <math>\frac{d \left( e^{- \lambda_A t} - e^{- \lambda_B t} \right)}{dt} = 0</math>
: <math>\frac{d \left( e^{- \lambda_A t \right)}}{dt} - \frac{d \left( e^{- \lambda_B t} \right)}{dt} = 0</math>
: <math>\frac{d \left( e^{- \lambda_A t \right)}}{dt} = \frac{d \left( e^{- \lambda_B t} \right)}{dt}</math>
: <math>\lambda_A \left( e^{- \lambda_A t} \right) = \lambda_B \left( e^{- \lambda_B t} \right)</math>
: <math>\frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \frac{e^{- \lambda_B t}}{e^{- \lambda_A t}}</math>
====Équilibre séculaire====
| |||