« Le noyau atomique/La loi de désintégration radioactive » : différence entre les versions

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: <math>\frac{dN_A}{dt} = \lambda_A N</math>
 
: <math>N_A(t) = N_A^0 \cdot e^{- \lambdalambda_A t}</math>, avec <math>N_A^0</math> le nombre de noyaux de A à l'instant <math>t</math>.
 
L'atome B est dans un cas un peu différent. Certes, il se désintègre en atomes C en respectant la loi de désintégration radioactive. Mais il faut aussi prendre en compte l'ajout de nouveaux atomes de B, qui naissent des désintégrations de A. On a donc l'équation suivante (le terme de droite comprend les pertes <math>\lambda_B N_B</math> et les apports : <math>\lambda_A N</math>) :
 
: <math>\frac{dN_B}{dt} = \lambda_A NN_A - \lambda_B N_B</math>
 
Or, on sait que <math>N_A(t) = N_A^0 \cdot e^{- \lambda t}</math>, avec <math>N_A^0</math> le nombre de noyaux de A à l'instant <math>t</math>. En injectant cette équation dans la précédente, on a :
 
: <math>\frac{dN_B}{dt} = \lambda_A \cdot N_A^0 e^{- \lambda_A t} - \lambda_B N_B</math>
 
La résolution de cette équation différentielle donne, après de laborieux calculs :
 
: <math>N_B(t) = N_A^0 \frac{\lambda_A}{\lambda_A + \lambda_B} \left(e^{- \lambda_A t - e^{- \lambda_B t}\right)</math>, avec <math>N_A^0</math> le nombre de noyaux de A à l'instant <math>t</math>.
 
===Les équations de Bateman===
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