« Précis d'épistémologie/La vérité des principes relativistes » : différence entre les versions
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La métrique de Minkowski |
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Les dispositifs de mesure spatio-temporelle et la relativité de la simultanéité permettent de comprendre ce résultat contre-intuitif. Imaginons une fusée lancée vers une étoile à trois années-lumière de la Terre. Un photon est émis à l'arrière de la fusée et il est reçu à l'avant, trois mètres plus loin, du point de vue de la fusée, donc une infime fraction de seconde plus tard. Mais à cause de la relativité de la simultanéité, ce qui dure une infime fraction de seconde du point de vue de la fusée peut durer trois années du point de vue de la Terre, pourvu que la fusée soit suffisamment rapide. Le même dispositif spatio-temporel permet donc de mesurer à la fois un intervalle lumière de trois années-lumière et un intervalle lumière de trois mètres. Il établit ainsi leur égalité.
==== La métrique de Minkowski ====
Dans l'espace euclidien, la distance peut être définie à partir du produit scalaire, parce que la longueur d'un vecteur est la racine carrée de son carré scalaire :
<math>||v||=\sqrt{v.v}</math>
C'est pourquoi on dit du produit scalaire qu'il définit la métrique de l'espace euclidien.
Inversement le produit scalaire peut être défini à partir de la distance, avec la formule :
<math>u.v=\frac{1}{4} (||u+v||^2 - ||u-v||^2)</math>
Lorsqu'on introduit des coordonnées cartésiennes <math>u=(u_1,u_2,u_3)</math> et <math>v=(v_1,v_2,v_3)</math> le produit scalaire s'écrit simplement
<math>u.v=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3</math>
et le carré scalaire est la formule de Pythagore :
<math>||v||^2=v_1^2+v_2^2+v_3^2</math>
Dans l'espace-temps de Minkowski, on peut aussi définir un produit "scalaire" à partir de la mesure des intervalles, mais on l'appelle parfois pseudo-scalaire, parce qu'il n'a pas toutes les propriétés du produit scalaire habituel.
Les intervalles du genre temps peuvent être mesurés en secondes et les intervalles du genre espace en mètre. Le produit pseudo-scalaire les distingue en leur attribuant aux uns un carré scalaire positif et aux autres un carré scalaire négatif. Le carré scalaire des intervalles du genre lumière est nul.
Si on choisit que les intervalles du genre temps ont un carré scalaire négatif, le carré scalaire d'un vecteur <math>v=(t,x,y,z)</math> est :
<math>||v||^2=-c^2t^2+x^2+y^2+z^2</math>
À partir du carré scalaire et donc de la mesure des distances spatio-temporelles on peut définir le produit "scalaire" spatio-temporel comme dans l'espace euclidien.
=== La courbure de l'espace-temps et la gravitation ===
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