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Les trajectoires paraboliques
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Chute libre veut dire que le mobile est seulement soumis à l'attraction de la Terre. Il n'est pas percuté par d'autres corps et on néglige les frottements contre l'air.
 
Soit une pierre, lâchée sans vitesse initiale du sommet d'une tour. On appelle <math>xy(t)</math> la distance en mètres parcourue au bout de <math>t</math> secondes. On a donc <math>xy(0)=0</math>, <math>v(0)= xy'(0)=0</math> et <math>a(t)=v'(t)=xy''(t)=10</math> quel que soit <math>t</math>
 
Comme on connaît la vitesse initiale <math>v(0)=0</math> et l'accélération <math>a(t)=10</math> à tous les instants <math>t</math>, on peut en déduire la vitesse à tous les instants :
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<math>v(T)=v(0)+\int_0^T a(t)dt=\int_0^T 10dt=10T</math>
 
Comme on connaît maintenant la position initiale <math>xy(0)=0</math> et la vitesse <math>v(t)=10t</math> à tous les instants <math>t</math>, on peut en déduire la position à tous les instants :
 
<math>xy(T)=xy(0)+\int_0^T v(t)dt=\int_0^T 10tdt=5T^2</math>
 
On prouve ainsi la loi de Galilée : ''la distance parcourue en chute libre est proportionnelle au carré du temps écoulé, depuis un lâcher initial au repos.''
 
==== Les trajectoires paraboliquesExercice ====
 
(...)
 
==== Exercices ====
 
* On suppose que le corps en chute libre a une vitesse initiale <math>V</math> différente de <math>0</math>
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: Il vaut mieux savoir que l'intégrale d'une somme est la somme des intégrales :
<math>\int_a^b (f(t)+g(t))dt=\int_a^b f(t)dt+\int_a^b g(t)dt</math>
 
 
[[Calcul différentiel et intégral pour débutants/Chute libre : solutions des exercices|Solutions]]
 
==== Les trajectoires paraboliques ====
=== [[Calcul différentiel et intégral pour débutants/Preuves des règles de dérivation|Annexe : preuves des règles de dérivation]] ===
 
Un corps lâché sans vitesse initiale tombe en ligne droite vers le centre de la Terre. Si on lui donne initialement une vitesse qui s'écarte de la verticale, sa trajectoire de chute libre est une parabole.
 
Une parabole est la représentation graphique d'une fonction définie par <math>f(x)=ax^2</math>, où <math>a</math> est une constante différente de zéro.
 
Par exemple, si <math>a=1</math> :
 
[[File:Quadratic-function.svg|640px]]
 
Pour décrire la trajectoire du mobile, on a besoin de deux coordonnées, <math>x(t)</math> et <math>y(t)</math>. <math>x(t)</math> mesure la position dans la direction horizontale, <math>y(t)</math> dans la direction verticale.
 
Si on néglige les frottements, il n'y a pas de force dans la direction horizontale. L'accélération <math>a_x(t)=x''(t)</math> dans cette direction est donc toujours nulle. La vitesse <math>v_x(t)=x'(t)</math> reste donc constante et égale à la vitesse <math>v_x(0)</math> donnée initialement au mobile. On en déduit que :
 
<math>x(T)=x(0)+\int_0^T v_x(t)dt=\int_0^T v_x(0)dt=v_x(0)T</math>
 
Comme on sait déjà que :
 
<math>y(T)=5T^2</math>
 
on en déduit que
 
<math>y(T)=5(x(T)/v_x(0))^2=\frac{5}{v_x(0)^2}x(T)^2</math>
 
et on peut conclure que la trajectoire du mobile est une parabole. Elle est orientée vers le bas, parce que l'axe des <math>y</math> choisi pour ce calcul est orienté vers le bas.