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Sa dérivée est donc la suivante.
: <math>L' = \left( \pi - \pi_* \right) + 2 \cdot \omega \cdot y = 0</math>
: <math>\pi -omega \pi_*cdot y = 2 \cdotpi \omega- \cdot ypi_*</math>
Remplaçons l'inflation par sa valeur dérivée de la courbe de Phillips.
: <math>\omega \cdot y = \pi_e + \alpha \cdot y - \pi_* = 2 \cdot \omega \cdot y</math>
: <math>\pi_e - \pi_* = \left( 2 \cdot \omega + \alpha \right) \cdot y = \pi_e - \pi_*</math>
Injectons l'équation de la courbe de Phillips en lieu et place de l'écart de production.
: <math>\pi_e - \pi_* = \left( 2 \cdot \omega + \alpha \right) \cdot \beta \cdot \left( r - r_n \right) = \pi_e - \pi_* </math>
On posedivise par <math> k = \frac{1}{ a \left( \ alphaomega + \frac{\omega}{\alpha } \right) }\cdot \beta</math>. ▼
: <math> r - r_n = \frac{\pi_e - \pi_* + }{\left( \ alphaomega + \frac{\omega}{\alpha } \right) y = 0\cdot \beta}</math> ▼
On ajoute <math>r_n</math> des deux cotés.
: <math> r = r_n + \frac{\pi_e - \pi_* = - }{\left( \ alphaomega + \frac{\omega}{\alpha } \right) y\cdot \beta}</math> ▼
:On pose <math> Lk = \frac{1}{ 2} \left [( (\ pi_eomega + \alpha \ cdot y - \pi_*right) ^2 + \omega \cdot y^2 \ right] beta}</math> .▼
: <math> r = r_n + k \cdot \left( \pi_e - \pi_* ) = r - r_n \right)}</math> ▼La fonction de production est la suivante :
▲: <math> L = \frac{1}{2} \left[ (\pi_e + \alpha \cdot y - \pi_*)^2 + \omega \cdot y^2 \right] </math>
La dérivée vaut :
: <math> L' = \frac{1}{2} \left[ 2 \alpha ( \pi_e - \pi_* + \alpha \cdot y ) + 2 \omega y \right] = 0 </math>
: <math> \alpha ( \pi_e - \pi_* + \alpha \cdot y ) + \omega \cdot y = 0 </math>
: <math> \pi_e - \pi_* + \alpha \cdot y + \frac{\omega}{\alpha} y = 0 </math>
▲: <math> \pi_e - \pi_* + \left( \alpha + \frac{\omega}{\alpha} \right) y = 0 </math>
▲: <math> \pi_e - \pi_* = - \left( \alpha + \frac{\omega}{\alpha} \right) y </math>
Injectons l'équation de la courbe IS pour remplacer l'écart de PIB (output gap) par sa valeur en fonction du taux réel, ce qui donne :
: <math> \pi_e - \pi_* = - \left( \alpha + \frac{\omega}{\alpha} \right) [ - a ( r - r_n) ] </math>
: <math> \pi_e - \pi_* = a \left( \alpha + \frac{\omega}{\alpha} \right) ( r - r_n) </math>
: <math> (\pi_e - \pi_*) \frac{1}{a \left( \alpha + \frac{\omega}{\alpha} \right)} = r - r_n </math>
▲On pose <math>k = \frac{1}{ a \left( \alpha + \frac{\omega}{\alpha} \right) }</math>.
▲: <math> k (\pi_e - \pi_*) = r - r_n </math>
On retombe donc sur la fonction de réaction précédente. On voit que la banque centrale ne prend en compte que l'inflation et se moque des mesures du chômage ou du PIB, alors que sa fonction de perte en tient compte ! Cibler l'inflation suffit donc parfaitement pour obtenir un résultat optimal au niveau de l'écart de production.
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