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[[Fichier:Levage par pivot et appui ponctuel geometrie analytique.svg|vignette|upright=1.7|Levage d'un objet avec un pivot fixe en A et un vérin poussant en B.]]
 
Considérons un système mécanique simple : une poutre pivote autour d'un point fixe A(''x''<sub>A</sub>, ''y''<sub>A</sub>) ; un vérin fixe pousse sur cette poutre selon un contact ponctuel au point B(''x''<sub>B</sub>, ''y''<sub>B</sub>). La hauteur de la poutre vaut ''e'' = {{unité|200|mm}}, le pivot est implanté à mi-hauteur. Le vérin est implanté à une distance horizontale L = {{unité|1000|mm}}. On a donc ''x''<sub>B</sub> - ''x''<sub>A</sub> = L, et l'altitude ''y''<sub>B</sub> varie. Le sujet présente une symétrie plane, on se place donc dans le plan de symétrie (A, ''x'', ''y''). Dans ce repère, on a donc :
: <math>\mathrm{A} \begin{pmatrix} x_\mathrm{A} = 0 \\ y_\mathrm{A} = 0 \end{pmatrix}</math>
: <math>\mathrm{B} \begin{pmatrix} x_\mathrm{B} = \mathrm{L} \\ y_\mathrm{B} \end{pmatrix}</math>
 
On désire connaître l'inclinaison de la poutre en fonction du déplacement du vérin. Pour cela, on détermine l'équation de la droite génératrice de la poutre, située sur sa face inférieure. L'équation générale de cette droite (D) est :
: (D) : ''y'' + ''ax'' + ''b'' = 0 soit (D) : ''y'' = -''ax'' - ''b''
et l'on veut donc déterminer les paramètres ''a'' et ''b''. Les conditions géométriques sont<ref>voir ''[[w:Propriétés métriques des droites et des plans|Propriétés métriques des droites et des plans]]'' sur Wikipédia.</ref> :
: la droite passe par le point B : ''y''<sub>B</sub> + ''ax''<sub>B</sub> + ''b'' = 0
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Or ce problème présente deux solutions, puisqu'il existe deux droites passant par B et tangentes au cercle de centre A et de rayon ''r''. Il faut donc :
* choisir un point de départ X<sub>0</sub> proche de la solution afin que l'algorithme converge vers le minimum local adapté ; on choisit la droite (A'B), avec
*: A'(''x''<sub>A</sub>, ''y''<sub>A</sub> - ''r'') ;
*: (A'B) : ''y'' = ''y''<sub>A</sub> + (''y''<sub>B</sub> - ''y''<sub>A'</sub>)/(''x''<sub>B</sub> - ''x''<sub>A</sub>)⋅(''x'' - ''x''<sub>A</sub>), donc
*: X<sub>0</sub>(1) = -(''y''<sub>B</sub> - ''y''<sub>A'</sub>)/(''x''<sub>B</sub> - ''x''<sub>A</sub>) = -(A(4) - A(2) + A(5))/(A(3) - A(1)) ;
*: X<sub>0</sub>(2) = (''y''<sub>B</sub> - ''y''<sub>A'</sub>)/(''x''<sub>B</sub> - ''x''<sub>A</sub>)⋅''x''<sub>A</sub> - ''y''<sub>A</sub> = (A(4) - A(2) + A(5))/(A(3) - A(1)) × A(1) - A(2) ;
* vérifier que la solution trouvée est bonne : on remarque que les deux droites possibles sont symétriques par rapport à la droite (AB), il suffit donc de vérifier que la pente de la droite trouvée est supérieure à celle de la droite (AB) :
*: pente<sub>(AB)</sub> = (''y''<sub>B</sub> - ''y''<sub>A</sub>)/(''x''<sub>B</sub> - ''x''<sub>A</sub>) = (A(4) - A(2))/(A(3) - A(1)).
Pour accélérer les calculs, lorsqu'une expression revient plusieurs fois, on la met dans une variable ; on rappelle que seul ''y''<sub>B</sub> = A(4) est variable. On identifie donc :
: facteur<sub>1</sub> = 1/(A(3) - A(1)) ;
: facteur<sub>2</sub> = (-A–A(2) + A(5)) × facteur<sub>1</sub> ;
: facteur<sub>3</sub> = A(4) × facteur<sub>1</sub> + facteur<sub>2</sub> ;
soit
: X<sub>0</sub>(1) = -facteur–facteur<sub>3</sub> ;
: X<sub>0</sub>(2) = facteur<sub>3</sub> × A(1) - A(2) ;
: pente<sub>(AB)</sub> = (A(4) - A(2)) × facteur<sub>1</sub>.
Donc,
* on connaît A(''x''<sub>A</sub>, ''y''<sub>A</sub>, ''x''<sub>B</sub>, ''y''<sub>B</sub>, ''r''){{'}}, la valeur ''y''<sub>B</sub> prenant plusieurs valeurs successives ; on cherche X(''a'', ''b''){{'}} ;
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Une fois ceci fait, on désire déterminer les effort aux liaisons, c'est-à-dire la force F<sub>A</sub> que l'axe exerce sur la poutre en A, et la force F<sub>B</sub> que le vérin exerce sur la poutre en B. La force F<sub>A</sub> est totalement inconnue :
: <math>\mathrm{F_A} = \begin{pmatrix} x_\mathrm{FA} \\ y_\mathrm{FA} \end{pmatrix}</math>
et on connaît la direction de la force F<sub>B</sub> : c'est le vecteur normal (-''a'', 1). Le vecteur peut donc s'écrire sous la forme :
: <math>\mathrm{F_B} = \mathrm{C}\begin{pmatrix} -a \\ 1 \end{pmatrix}</math>.
Le système a une ''m'', le centre des masses étant en G(''x''<sub>G</sub>, ''y''<sub>G</sub>) ; prenons arbitrairement ''m'' = {{unité|100|kg}}, ''x''<sub>G</sub> = {{unité|700|mm}} et ''y''<sub>G</sub> = {{unité|200|mm}}. L poids P s'écrit p(0, -''mg'') avec ''g'' = {{unité|9.81|m/s<sup>2</sup>}}.
Les équations de la statique s'écrivent
: équilibre des forces : <math>\vec{\mathrm{F}}_\mathrm{A} + \vec{\mathrm{F}}_\mathrm{B} + \vec{\mathrm{P}} = \vec{0}</math>