« Cosmologie/Les perturbations cosmologiques » : différence entre les versions

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Les inhomogénéités vont naturellement influencer la pression et le potentiel gravitationnel, ainsi que la vitesse du fluide. Les zones plus denses que leur voisinage auront naturellement une gravité plus grande que leur entourage. De même, leur pression sera supérieure vu que la gravité va compresser la matière dans la sur-densité, augmentant donc sa pression. Enfin, il en est de même pour la vitesse du fluide. Sous l'effet de la pression, la matière va tendre à fuir la sur-densité où elle est comprimée : la matière va donc avoir une vitesse sortante supérieure à l'environnement. Mais cette vitesse est contrariée par la gravité, qui tend à faire rentrer la matière et donc à lui imposer une vitesse entrante non-nulle. Mais les équations précédentes ne permettent pas de rendre compte de ce phénomène : les termes de pression et de potentiel gravitationnel ne sont pas exprimés en fonction de la densité. On doit donc trouver des relations entre densité, pression et potentiel gravitationnel. Avec ces relations, on pourra reformuler les équations du fluide avec seulement la densité.
 
Si on prend la divergence de l'équation d'Euler, on peut réutiliser l'expression de la divergence de la vitesse sur le résultat. La divergence donne :
 
: <math>\nabla . \frac{\partial u}{\partial t} + H (\nabla . u) = \frac{1}{a} \left( \frac{\Delta P}{\rho_m} + \Delta \Phi \right)</math>
 
On applique alors l'identité suivante : <math>\nabla . \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial (\nabla . u)}{\partial t}</math>
 
: <math>\frac{\partial (\nabla . u)}{\partial t} + H (\nabla . u) = \frac{1}{a} \left( \frac{\Delta P}{\rho_m} + \Delta \Phi \right)</math>
 
===La relation entre densité et vitesse locale===
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: <math>a \frac{\partial \delta}{\partial t} = \nabla \cdot u</math>
 
Si on prend la divergence de l'équation d'Euler, on peut réutiliser l'expression de la divergence de la vitesse sur le résultat. La divergence donne :
 
: <math>\nabla . \frac{\partial u}{\partial t} + H (\nabla . u) = \frac{1}{a} \left( \frac{\Delta P}{\rho_m} + \Delta \Phi \right)</math>
 
On applique alors l'identité suivante : <math>\nabla . \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial (\nabla . u)}{\partial t}</math>
 
: <math>\frac{\partial (\nabla . u)}{\partial t} + H (\nabla . u) = \frac{1}{a} \left( \frac{\Delta P}{\rho_m} + \Delta \Phi \right)</math>
 
On injecte alors l'équation <math>a \frac{\partial \delta}{\partial t} = \nabla \cdot u </math> :