« Systèmes dynamiques et équations différentielles » : différence entre les versions

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On peut le considérer comme un champ de vecteurs : à chaque point <math>\mathbf{x}</math> de <math>\R^n</math> est attaché le vecteur <math>F(\mathbf{x})</math>
 
 
[[File:Ruissellement Vecteurs.gif|960px]]
 
 
Tous ces vecteurs peuvent être considérés comme les vitesses d'un fluide. Le champ de vecteurs représente ainsi l'écoulement d'un fluide dans <math>\R^n</math> (pour que ce soit un vrai fluide, il faut bien sûr n=3). C'est pourquoi on peut l'appeler un flot.
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Un flot <math>F</math> dans <math>\R^n</math> détermine un système dynamique : son espace des états est <math>\R^n</math> et sa loi du mouvement est <math>\mathbf{x'}=F(\mathbf{x})</math>
 
Les lignes de courant d'un écoulement sont des lignes partout tangentes à la vitesse du fluide à un instant donné. Elles sont aussi les trajectoires des particules de fluide lorsque l'écoulement est stationnaire, c'est à dire lorsque le champ des vitesses ne varie pas. :
 
 
[[File:Ruissellement Lignes de courant.gif|960px]]
 
 
Une trajectoire d'un système dynamique dans son espace d'états est partout tangente à son vecteur vitesse. Elle est donc une ligne de courant du flot qui représente la dynamique du système.
 
Une trajectoire paramétrée par le temps d'une particule de fluide entraînée par le flot est également une trajectoire paramétrée par le temps du système dans son espace d'états. On peut la représenter en dessinant une suite de petites flèches sur une ligne de courant, séparées par des intervalles de temps réguliers, comme si le Petit Poucet les avaient tracées derrière lui :
 
 
[[File:Ruissellement Lignes paramétrées.gif|960px]]
 
 
Mais l'une des représentations les plus riches d'enseignements est tout simplement de montrer le mouvement de ce fluide mathématique :
 
[[File:Ruissellement.gif|960px]]
 
=== Les applications linéaires de <math>\R^n</math> dans <math>\R^p</math> ===