« Systèmes dynamiques et équations différentielles » : différence entre les versions
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L'étude des applications linéaires de <math>\R^2</math> dans <math>\R^2</math> montre que deux formes principales sont à considérer :
*La première est représentée par les matrices diagonales
:<math>\begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0\\
0 & \lambda_2\\
\end{pmatrix}</math>
:où <math>\lambda_1</math> et <math>\lambda_2</math> sont des nombres réels.
*La seconde forme est représentée par les matrices▼
Voici les représentations visuelles des divers cas possibles (à faire) :▼
:<math>\begin{pmatrix}▼
* <math>0<\lambda_1<\lambda_2</math>▼
Il suffit qu'une des valeurs <math>\lambda_1</math> ou <math>\lambda_2</math> soit <math>>0</math> pour que l'origine <math>(0,0)</math> soit un point d'équilibre instable.▼
▲La seconde forme est représentée par les matrices
▲<math>\begin{pmatrix}
a & -b\\
b & a\\
\end{pmatrix}</math>
:où <math>b \ne 0</math> et
* Une troisième forme, possible mais exceptionnelle, est représentée par les matrices :
:<math>\begin{pmatrix}
0 & c\\
0 & 0\\
\end{pmatrix}</math>
:où <math>c \ne 0</math> est un nombre réel.
▲Voici les représentations visuelles des divers cas possibles (à faire) :
*<math>0<a</math>, <math>a<0</math> et <math>a=0</math>
▲* <math>0<\lambda_1=\lambda_2</math> et <math>\lambda_1=\lambda_2<0</math>
* <math>0<\lambda_1<\lambda_2</math>, <math>\lambda_2<\lambda_1<0</math> et <math>\lambda_1<0<\lambda_2</math>
* <math>\lambda_1=0<\lambda_2</math>, <math>\lambda_2<0=\lambda_1</math> et <math>c \ne 0</math>
▲
Pour les flots linéaires de la seconde forme, l'origine est un équilibre instable si <math>a>0</math> et stable si <math>a<0</math>. Le cas <math>a=0</math> est ambigu. On peut dire que l'équilibre est plutôt stable puisqu'un écart à l'équilibre ne grandit pas. Mais comme il ne diminue pas non plus, on hésite à parler de stabilité.
=== Les équilibres dans un espace d'états à n dimensions ===
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